Question

一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，系于長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩的一端，繩的另一端固定在空間的O點(diǎn)，假定繩是不可伸長(zhǎng)、柔軟目無(wú)彈性的．今把質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)的正上方離O點(diǎn)的距離為

8

9

L的O₁點(diǎn)以水平速度V₀拋出，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與O點(diǎn)同一水平線時(shí)，輕繩剛好伸直，如圖所示．試求；
（1）輕繩剛好伸直時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度：
（2）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)的正下方時(shí)，繩對(duì)質(zhì)點(diǎn)的拉力．

Answer 1

分析：質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可分為三個(gè)過(guò)程：第一過(guò)程：質(zhì)點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)．設(shè)輕繩剛好伸直時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度為v，該過(guò)程中重力做功；第二過(guò)程：繩繃直過(guò)程．繩繃直時(shí)，繩剛好水平，如圖所示，由于繩不可伸長(zhǎng)，故繩繃直時(shí)，v₀損失，質(zhì)點(diǎn)僅有速度v_y．第三過(guò)程：小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．針對(duì)各個(gè)過(guò)程，列出相應(yīng)的公式即可求解．

解答：解：（1）質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可分為三個(gè)過(guò)程：
第一過(guò)程：質(zhì)點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)．設(shè)輕繩剛好伸直時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度為v，由動(dòng)能定理得：
mg?

8

9

L=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

                   
解得：v=

v 2 2 + 16 9 gL

                               
（2）第二過(guò)程：繩繃直過(guò)程．繩繃直時(shí)，繩剛好水平，如圖所示，由于繩不可伸長(zhǎng)，故繩繃直時(shí)，v₀損失，質(zhì)點(diǎn)僅有速度v_y．
vy=

2h g

=

2× 8 9 L g

=

4

3

gL

    
第三過(guò)程：小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)正下方時(shí)，速度為v₁，根據(jù)機(jī)械能守恒守律有：

1

2

m

v

2 y

+mgL=

1

2

m

v

2 1

        
設(shè)此時(shí)繩對(duì)質(zhì)點(diǎn)的拉力為T，則：T-mg=m

v 2 1

L

聯(lián)立以上方程，代入數(shù)據(jù)解得：T=

43

9

mg
答：（1）輕繩剛好伸直時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度為v=

v 2 2 + 16 9 gL

；
（2）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)的正下方時(shí)，繩對(duì)質(zhì)點(diǎn)的拉力為T=

43

9

mg．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是將小球的運(yùn)動(dòng)分為三個(gè)過(guò)程進(jìn)行分析討論，平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程、突然繃緊的瞬時(shí)過(guò)程和變速圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程；然后根據(jù)對(duì)各段運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)位移公式、速度分解法則、機(jī)械能守恒定律和向心力公式列式求解．