2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試
文科數學（必修+選修Ⅰ）
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分. 共150分. 考試時間120分鐘.
第I卷
其中R表示球的半徑，
球的體積公式
V=，
其中R表示球的半徑
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互獨立，那么
P（A?B）=P(A)?P(B)
如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么
n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率
Pn(k)=CPk(1－P)n－k
一、選擇題：每小題5分，共60分.
1．已知為第三象限角，則所在的象限是 （ ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
2．已知過點A(－2，m)和B(m，4)的直線與直線2x+y-1=0平行，則m的值為 （ ）
A．0 B．－8 C．2 D．10
3．在的展開式中的系數是 （ ）
A．－14 B．14 C．－28 D．28
4．設三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，P、Q分別是側棱AA1、CC1上的點，且PA=QC1，則四棱錐B-APQC的體積為 （ ）
A． B． C． D．
5．設，則 （ ）
A．－2<x<－1 B．－3<x<－2 C．－1<x<0 D．0<x<1
6．若，則 （ ）
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c
7．設,且,則 （ ）
A． B． C． D．
8． = （ ）
A． B． C．1 D．
9．已知雙曲線的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且則點M到
x軸的距離為 （ ）
A． B． C． D．
10．設橢圓的兩個焦點分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為
等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 （ ）
A． B． C． D．
11．不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有 （ ）
A．3個 B．4個 C．6個 D．7個
12．計算機中常用十六進制是逢16進1的計數制，采用數字0～9和字母A～F共16個計數
符號，這些符號與十進制的數的對應關系如下表：
16進制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10進制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六進制表示：E+D=1B，則A×B= （ ）
A．6E B．72 C．5F D．B0
第Ⅱ卷
二．填空題：每小題4分，共（16分）
13．經問卷調查，某班學生對攝影分別執(zhí)“喜歡”、“不喜歡”和“一般”三種態(tài)度，其中執(zhí)
“一般”態(tài)度的比“不喜歡”態(tài)度的多12人，按分層抽樣方法從全班選出部分學生座
談攝影，如果選出的5位“喜歡”攝影的同學、1位“不喜歡”攝影的同學和3位執(zhí)“一
般”態(tài)度的同學，那么全班學生中“喜歡”攝影的比全班人數的一半還多 人.
14．已知向量，且A、B、C三點共線，則k= .
15．曲線在點（1，1）處的切線方程為 .
16．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的點，則點P到AC、BC
的距離乘積的最大值是
三.解答題：共74分.
17．(本小題滿分12分)
已知函數求使為正值的的集合.
18．(本小題滿分12分)
設甲、乙、丙三臺機器是否需要照顧相互之間沒有影響。已知在某一小時內，甲、
乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概
率為0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每臺機器在這個小時內需要照顧的概率分別是多少；
（Ⅱ）計算這個小時內至少有一臺需要照顧的概率.
19．(本小題滿分12分)
在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明AB⊥平面VAD；
20．(本小題滿分12分)
在等差數列中，公差的等差中項.
已知數列成等比數列，求數列的通項
21． (本小題滿分12分)
用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小
正方形,然后把四邊翻轉90°角,再焊接而成(如圖),問該容器的高為多少時,容器的容積最
大?最大容積是多少?
22． (本小題滿分14分)
設兩點在拋物線上，是AB的垂直平分線，
（Ⅰ）當且僅當取何值時，直線經過拋物線的焦點F？證明你的結論；
（Ⅱ）當時，求直線的方程.
2005年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試
一、DBBCA，CCBCD，BA
二、13、3，14、，15、x+y-2=0，16、12
三、解答題：
17．解：∵……………2分 ………4分
…………………………………………6分
……………………………8分
………………………………………………10分
又 ∴………………………12分
18．解：（Ⅰ）記甲、乙、丙三臺機器在一小時需要照顧分別為事件A、B、C，……1分
則A、B、C相互獨立，
由題意得： P（AB）=P(A)?P(B)=0.05
P（AC）=P(A)?P(C)=0.1
P（BC）=P(B)?P(C)=0.125…………………………………………………………4分
解得：P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5
所以, 甲、乙、丙每臺機器在這個小時內需要照顧的概率分別是0.2、0.25、0.5……6分
（Ⅱ）∵A、B、C相互獨立，∴相互獨立，……………………………………7分
∴甲、乙、丙每臺機器在這個小時內需都不需要照顧的概率為
…………………………10分
∴這個小時內至少有一臺需要照顧的概率為
……12分
19．證明：（Ⅰ）作AD的中點O，則VO⊥底面
ABCD．…………………………1分
建立如圖空間直角坐標系，并設正方形邊長為1，…………………………2分
則A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），
∴………………………………3分
由……………………………………4分
……………………………………5分
又AB∩AV=A ∴AB⊥平面VAD…………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量………………………………7分
設是面VDB的法向量，則
……9分
∴，……………………………………11分
又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角，所以其大小為…………12分
20．解：由題意得：……………1分 即…………3分
又…………4分 又成等比數列,
∴該數列的公比為，………6分 所以………8分
又……………………………………10分
所以數列的通項為……………………………12分
21．解：設容器的高為x，容器的體積為V，……………………………………………1分
則V=（90－2x）（48－2x）x,(0<V<24)………………………………………………5分
=4x3－276x2+4320x ∵V′=12 x2－552x+4320………………………………7分
由V′=12 x2－552x+4320=0得x1=10，x2=36
∵x<10 時，V′>0, 10<x<36時，V′<0, x>36時，V′>0,
所以,當x=10,V有極大值V(10)=1960………………………………………10分
又V(0)=0,V(24)=0,………………………………………………………………11分
所以當x=10,V有最大值V(10)=1960……………………………………………12分
22．解：（Ⅰ）∵拋物線，即，
∴焦點為………………………………………………………1分
（1）直線的斜率不存在時，顯然有………………………………3分
（2）直線的斜率存在時，設為k， 截距為b
即直線：y=kx+b 由已知得：
……………5分
……………7分
即的斜率存在時，不可能經過焦點……………………………………8分
所以當且僅當=0時，直線經過拋物線的焦點F…………………………9分
（Ⅱ）當時，
直線的斜率顯然存在，設為：y=kx+b………………………………10分
則由（Ⅰ）得：
………………………11分
…………………………………………13分
所以直線的方程為，即………………14分
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