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          北京市西城區(qū) 2009年4月抽樣測試
                                 
高三數(shù)學(xué)試卷（文科）                 2009.4      
                               
 
          本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.共150分.考試時間120分鐘.
           
          題號
           
          分?jǐn)?shù) 
          一 
          二 
          三
          總分
          15
          16
          17
          18
          19
          20
           
                             
 
          第Ⅰ卷(選擇題   共40分)
           
          一、本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項. 
          1. 已知集合，那么集合等于（  ）
          

          試題詳情
          

          A.                          B.        
          

          試題詳情
          

          C.                          D. 
          

          試題詳情
          

          2. 函數(shù)的最小正周期為（     ）
          

          試題詳情
          

          A.                                     B.

          

          試題詳情
          

          C.                                     D.

          

          試題詳情
          

          3. 若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，則數(shù)列是（  ）
          

          試題詳情
          

          A. 公比為4的等比數(shù)列                    
B. 公比為的等比數(shù)列  
          

          試題詳情
          

          C. 公比為的等比數(shù)列                    
D. 公比為的等比數(shù)列 
          

          試題詳情
          

          4. 由1、2、3、4、5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中奇數(shù)有（     ）
          A. 48 個                                    
B. 72 個        

          C. 96 個                                    
D. 120 個
          

          試題詳情
          

          5.設(shè)實數(shù)x, y滿足，則的最小值為（      ）
          

          試題詳情
          

          A.                                     B.
          
          C. 
5                                    
D. 27
          

          試題詳情
          

          6. 在平面直角坐標(biāo)系中， A為平面內(nèi)一個動點，. 若（O為坐標(biāo)原點），則動點A的軌跡是（    ）
             A. 橢圓            
B.雙曲線           
C.拋物線          
D. 圓
          

          試題詳情
          

          7．已知直線a 和平面，那么的一個充分條件是（  ） 
          

          試題詳情
          

          A. 存在一條直線b，          
B. 存在一條直線b， 
          

          試題詳情
          

          C. 存在一個平面         
D. 存在一個平面       
          

          試題詳情
          

          8. 函數(shù)f (x)的定義域為D，若對于任意，當(dāng)時，都有，則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù) . 
          設(shè)函數(shù)f (x)在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：
          

          試題詳情
          

          1；        2；      3.
          

          試題詳情
          

          則等于（     ） 
          

          試題詳情
          

          A.                                     B.        
          

          試題詳情
          

           C. 
1                                    
D. 
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          北京市西城區(qū) 2009年抽樣測試
          

          試題詳情
          

                                 
高三數(shù)學(xué)試卷（文科）                 2009.4      
                               
                      
          第Ⅱ卷( 共110分)
           
          

          試題詳情
          

          二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分. 把答案填在題中橫線上 .
          9. 某單位有27名老年人，54名中年人，81名青年人. 為了調(diào)查他們的身體情況，用分層抽樣的方法從他們中抽取了n個人進(jìn)行體檢，其中有6名老年人，那么n=_________.
          

          試題詳情
          

          10. 的展開式中的系數(shù)是___________.(用數(shù)字作答)
          

          試題詳情
          

          11. 設(shè)a為常數(shù)，.若函數(shù)為偶函數(shù)，則=__________；=_______. 
          

          試題詳情
          

          12. 設(shè)O為坐標(biāo)原點，向量 .將繞著點  按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 得到向量 , 則的坐標(biāo)為____________.
          

          試題詳情
          

          13. 已知一個正方體的八個頂點都在同一個球面上. 設(shè)此正方體的表面積為，球的表面積，則=_____________.
          

          試題詳情
          

          14．如圖，從雙曲線的左焦點F1引圓的切線，切點為T，延長F1T交雙曲線右支于P點. 設(shè)M為線段F1P的中點，O為坐標(biāo)原點，則=_____________；=__________.
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
          15.（本小題滿分12分）
          

          試題詳情
          

          設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且.
          

          試題詳情
          

          （Ⅰ）求的值； 
          

          試題詳情
          

          （Ⅱ）求的值.
                                                                                                                                              
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          16.（本小題滿分12分）
          某個高中研究性學(xué)習(xí)小組共有9名學(xué)生，其中有3名男生和6名女生. 在研究學(xué)習(xí)過程中，要進(jìn)行兩次匯報活動（即開題匯報和結(jié)題匯報），每次匯報都從這9名學(xué)生中隨機選1人作為代表發(fā)言. 設(shè)每人每次被選中與否均互不影響.
          （Ⅰ）求兩次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言的概率；
          （Ⅱ）求男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)的概率.
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          17.（本小題滿分14分）
          

          試題詳情
          

          如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， 又
          

          試題詳情
          

          .
          

          試題詳情
          

          (Ⅰ) 求證：平面；
          (Ⅱ) 求PA與平面ABCD所成角的大��；
          (Ⅲ) 求二面角B-PD-C的大小.
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          18.（本小題滿分14分）
          

          試題詳情
          

          設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且（c是常數(shù)，N*），.
          

          試題詳情
          

          （Ⅰ）求c的值及的通項公式；
          

          試題詳情
          

          （Ⅱ）證明：.
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          19.（本小題滿分14分）
          

          試題詳情
          

          已知橢圓C，過點M(0, 1)的直線l與橢圓C相交于兩點A、B.
          （Ⅰ）若l與x軸相交于點P，且P為AM的中點，求直線l的方程；
          

          試題詳情
          

           （Ⅱ）設(shè)點，求的最大值. 
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

          20.（本小題滿分14分）
          

          試題詳情
          

          已知函數(shù)R).
          

          試題詳情
          

          （Ⅰ）若a=1，函數(shù)的圖象能否總在直線的下方？說明理由；
          

          試題詳情
          

          （Ⅱ）若函數(shù)在（0，2）上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
          

          試題詳情
          

          （Ⅲ）設(shè)為方程的三個根，且，，,求證：.
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
          

          試題詳情
          

                            
高三數(shù)學(xué)試卷（文科）                 2009.4    
          題號
          1
          2
          3
          4
          5
          6
          7
          8
          答案 
          C
          B
          A
          B
          A
          D
          C
          A
          一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 
           
           
           
          二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分. 
          9. 36        
10. 10        11.
2, 8      12.      13.        14.
5, 2      
          注：兩空的題目，第一個空3分，第二個空2分.
          三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分. 
          15.（本小題滿分12分）
          （Ⅰ）解：由余弦定理，                 
     ----------------------------3分
          得.                                
---------------------------5分
          （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 ,
          所以角為銳角，所以，         
----------------------------7分
          則     --------------------------10分
                                    

            
.
                  所以.                            
---------------------------12分
          16.（本小題滿分12分）
          （Ⅰ）解：記 “2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言” 為事件A.   -----------------------------1分     

          由題意，得事件A的概率，              

          即2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言的概率為.           
---------------------------5分
          （Ⅱ）解：由題意，每次匯報時，男生被選為代表的概率為，女生被選為代表的概率為.
                                                                        
----------------------------6分
               
記“男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)”為事件B，
          由題意，事件B包括以下兩個互斥事件：
          1事件B1：男生發(fā)言2次女生發(fā)言0次，其概率為
          ，            
----------------------------8分
          2事件B2：男生發(fā)言1次女生發(fā)言1次，其概率為
          ，          
----------------------------10分
          所以，男生發(fā)言次數(shù)不少于女生發(fā)言次數(shù)的概率為.
             ---------------------------12分
          17.（本小題滿分14分）
          方法一：（Ⅰ）證明：在中，，
                 ，
                 ，即，                            
---------------------------1分
                 ，
                 平面.                                     
---------------------------4分
          （Ⅱ）如圖，連接AC，由（Ⅰ）知平面，
               AC為PA在平面ABCD內(nèi)的射影，
               為PA與平面ABCD所成的角.    --------------6分
               在中，，，
               ，
              在中，，，
              ，
              PA與平面ABCD所成角的大小為.               
---------------------------8分
          （Ⅲ）由（Ⅰ）知，
          又，
          平面.                                      
---------------------------9分
          如圖，過C作于M，連接BM，
          是BM在平面PCD內(nèi)的射影，
          ， 
          為二面角B-PD-C的平面角.                     
 ---------------------------11分
          在中, , PC=1, ，
          ，
          又，，
          ，
          在中, , BC=1, ,
          ,
          二面角B-PD-C的大小為.                      
--------------------------14分
           
方法二：（Ⅰ）同方法一.                                        ---------------------------4分
             （Ⅱ）解：連接AC，由（Ⅰ）知平面，
               AC為PA在平面ABCD內(nèi)的射影，
                 為PA與平面ABCD所成的角.                    
---------------------------6分
                
如圖，在平面ABCD內(nèi)，以C為原點， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，
                  
則, ，                 
  
                                                                          
---------------------------7分
                 ，
                 PA與平面ABCD所成角的大小為.              
---------------------------9分
           （Ⅲ）過C作于M，連接BM，設(shè)，
                 則，
          ，
          ；          
1        
          共線，
          ，              
2
          由12，解得，
          點的坐標(biāo)為，，，
          ,
          ，
          又，
          為二面角B-PD-C的平面角.                     
 ---------------------------12分
                  
，，
                  
，  
           二面角B-PD-C的大小為.                       
--------------------------14分
          18.（本小題滿分14分）
          （Ⅰ）解：因為，
                所以當(dāng)時，，解得，          
---------------------------2分
                   
當(dāng)時，，即，解得，
                所以，解得；        
                        ---------------------------5分
          則，數(shù)列的公差，
          所以.                           
---------------------------8分
          （Ⅱ）因為 
                              
---------------------------9分
                  ---------------------------12分
          .                 
     
          因為，
          所以 .                         
-------------------------14分
                  注：為降低難度，此題故意給出多余條件，有多種解法，請相應(yīng)評分. 
          19.（本小題滿分14分）
            
（Ⅰ）解：設(shè)A(x1,
y1)， 
          因為P為AM的中點，且P的縱坐標(biāo)為0，M的縱坐標(biāo)為1，
          所以，解得，                             
-------------------------1分
          又因為點A(x1, y1)在橢圓C上，
          所以，即，解得，
           則點A的坐標(biāo)為或，                     
-------------------------3分
          所以直線l的方程為，或.    -------------------------5分
            
（Ⅱ）設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，則
          所以，
                  
則，                  
-------------------------7分
                  
當(dāng)直線AB的斜率不存在時，其方程為，，此時；
          -------------------------8分
          當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為，
             由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解，
             消去y得，
             所以，       -------------------------10分
             則，
             所以，
             當(dāng)時，等號成立, 即此時取得最大值1.    -------------------------13分
          綜上，當(dāng)直線AB的方程為或時，有最大值1.  -------------------14分
          20.（本小題滿分14分）
          （Ⅰ）解：當(dāng)時，，
          因為，
          所以，函數(shù)的圖象不能總在直線的下方.         
---------------------------3分
          （Ⅱ）解：由題意，得，
          令，解得或，                    
--------------------------4分
          當(dāng)時，由，解得，
          所以在上是增函數(shù)，與題意不符，舍去；
          當(dāng)時，由，與題意不符，舍去；     --------------------------6分
          當(dāng)時，由，解得，
          所以在上是增函數(shù)，
          又在(0，2)上是增函數(shù)，
                       
所以，解得，
          綜上，a的取值范圍為.                           
---------------------------9分
          （Ⅲ）解：因為方程最多只有3個根， 
            
   由題意，得在區(qū)間內(nèi)僅有一根，
                所以，          
1
          同理，          
2      
--------------------------11分
          當(dāng)時，由1得
，即，
              由2得，即，
              因為，所以，即；
          當(dāng)時，由1得
，即，
              由2得，即，
              因為，所以，即；
          當(dāng)時，因為，所以有一根0，這與題意不符.
          綜上，.                                         
---------------------------14分
          注：在第（Ⅲ）問中，得到12后，可以在坐標(biāo)平面aOb內(nèi)，用線性規(guī)劃方法解. 請相應(yīng)評分.
                  
                
           
           
          
				
          
	
          
		
          


          同步練習(xí)冊答案