全國(guó)歷屆高考數(shù)學(xué)
試題及解答
第五輯
(1995~1999)
一九九五年（理科）
二．填空題：本大題共5小題;每小題4分，共20分。把答案填在題中橫線上。
（20）四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有________種（用數(shù)字作答）
答：144
（21）（本小題滿分7分）
在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的四頂點(diǎn)按照逆時(shí)針?lè)较蛞来螢閆1，Z2，Z3，O（其中O是原點(diǎn)），已知Z2對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)。求Z1和Z3對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)。
解：設(shè)Z1，Z3對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為
依題設(shè)得
（22）（本小題滿分10分）
求的值。
解：原式=
（23）（本小題滿分12分）
如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面的圓周上，AF⊥DE，F(xiàn)是垂足。
（Ⅰ）求證：AF⊥DB;
（Ⅱ）如果圓柱與三棱錐D-ABE的體積比等于，求直線DE與平面ABCD所成的角。
D C
F
A H B
E
（Ⅰ）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，
DA⊥平面ABE
∵BE平面ABE，
∴DA⊥EB.
∵AB是圓柱底面的直徑，
點(diǎn)E在圓周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得
EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得
AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB
∴AF⊥DB.
（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB，H是垂足，連結(jié)DH.
根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交線，且EH平面ABE，
∴EH⊥平面ABCD.
又DH平面ABCD，∴DH是ED在平面ABCD上的射影，
從而∠EDH是DE與平面ABCD所成的角.
設(shè)圓柱的底面半徑而R，則DA=AB=2R，于是V圓柱=2πR3，
VD-ABE=AD?S△ABE=?EH.
V圓柱:VD-ABE=3π,得EH=R.
可知H是圓柱底面的圓心，AH=R，
DH=
∴∠EDH=
（24）（本小題滿分12分）
某地為促進(jìn)淡水魚(yú)養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價(jià)格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對(duì)淡水魚(yú)養(yǎng)殖提供政府補(bǔ)貼。設(shè)淡水魚(yú)的市場(chǎng)價(jià)格為x元/千克，政府補(bǔ)貼為t元/千克，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)8≤x≤14時(shí)，淡水魚(yú)的市場(chǎng)日供應(yīng)量P千克與市場(chǎng)日需求量Q千克近似的滿足關(guān)系：
當(dāng)P=Q時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格。
（Ⅰ）將市場(chǎng)平衡價(jià)格表示為政府補(bǔ)貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域;
（Ⅱ）為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于每千克10元，政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元？
解：（Ⅰ）依題設(shè)有
化簡(jiǎn)得
當(dāng)判別式時(shí)，可得
解不等式組①，得不等式組②無(wú)解。
故所求的函數(shù)關(guān)系式為
函數(shù)的定義域?yàn)閇0，]
（Ⅱ）為使，應(yīng)有
化簡(jiǎn)得
解得
從而政府補(bǔ)貼至少為每千克1元。
（25）（本小題滿分12分）
設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和。
（Ⅰ）證明
（Ⅱ）是否存在常數(shù)c>0使得
成立？并證明你的結(jié)論。
（Ⅰ）證明：設(shè)的公比為，由題設(shè)知
（1）當(dāng)時(shí)，從而
（2）當(dāng)時(shí)，從而
由（1）和（2）得
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，知
即
（Ⅱ）解：要使
成立，則有
分兩種情況討論：（1）當(dāng)時(shí)，
可知，不滿足條件①，即不存在常數(shù)c>0，使結(jié)論成立。
（2）當(dāng)時(shí)，若條件①成立，因
且故只能有即
此時(shí)，
但時(shí)，不滿足條件②，
即不存在常數(shù)c>0，使結(jié)論成立。
證法二：用反證法.假設(shè)存在常數(shù)c>0，使
，
則有
由（4）得
根據(jù)平均值不等式及（1）、（2）、（3）、（4）知
因?yàn)閏>0，故（5）式右端非負(fù)，而由（Ⅰ）知，（5）式左端小于零，矛盾。
故不存在常數(shù)c>0，使
（26）（本小題滿分12分）
已知橢圓，直線.P是上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|?|OP|=|OR|2.當(dāng)點(diǎn)P在上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。
解：由題設(shè)知點(diǎn)Q不在原點(diǎn).設(shè)P，R，Q的坐標(biāo)分別為
y
P
Q R
O x
（xP,yP),（xR,yR),（x,y),
其中x,y不同時(shí)為零.
當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，
由于點(diǎn)R在橢圓上及點(diǎn)O，
Q，R共線，得方程組
解得
由于點(diǎn)P在直線上及點(diǎn)O，Q，P共線，
解方程組
解得
當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)（1）~（4）式也成立
由題設(shè)|OQ|?|OP|=|OR|2，得
將（1）~（4）式代入上式，化簡(jiǎn)整理得
因x與xP同號(hào)或y與yP同號(hào)，以及（3），（4）知，
故點(diǎn)Q的軌跡方程為
所以點(diǎn)Q的軌跡是以（1，1）為中心，長(zhǎng)、短半軸分別為和且長(zhǎng)軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。
解法二：由題設(shè)點(diǎn)Q不在原點(diǎn).又設(shè)P，R，Q的坐標(biāo)分別為
（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同時(shí)為零.
設(shè)OP與x軸正方向的夾角為，則有
由上式及題設(shè)|OQ|?|OP|=|OR|2，得
由點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)R在橢圓上，得方程組
將（1），（2），（3），（4）代入（5），（6），
整理得點(diǎn)Q的軌跡方程為
所以點(diǎn)Q的軌跡是以（1，1）為中心，長(zhǎng)、短半軸分別為和且長(zhǎng)軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。
解法三：投影法
設(shè)P，R，Q的坐標(biāo)分別為（xP,yP),（xR,yR),（x,y),其中x,y不同時(shí)為零.
由題設(shè)|OQ|?|OP|=|OR|2
設(shè)OP的方程為
這就是Q點(diǎn)的參數(shù)方程，消去參數(shù)k得
當(dāng)P在y軸上時(shí)，k不存在，此時(shí)Q（0，2）滿足方程，
故Q點(diǎn)軌跡是以（1，1）為中心，長(zhǎng)、短半軸分別為和且長(zhǎng)軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。
解法四：極坐標(biāo)法
在極坐標(biāo)系OX中，設(shè)∠POX=
由得
由得
由|OQ|?|OP|=|OR|2得即
將（1），（2）代入（3）
故Q點(diǎn)軌跡是以（1，1）為中心，長(zhǎng)、短半軸分別為和且長(zhǎng)軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。
一九九五年（文科）
（1）已知全集I={0，-1，-2，-3，-4，}集合M={0，-1，-2}，N={0，-3，-4}，則 （ B ）
o 1 x -1 o x o 1 x -1 o x
（A）{0} （B）{-3，-4} （C）{-1，-2} （D）
（2）函數(shù)的圖象是 （ D ）
（3）函數(shù)的最小正周期是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（4）正方體的全面積是，它的頂點(diǎn)都在球面上，這個(gè)球的表面積是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（5）若圖中的直線的斜率分別為，則 （ D ）
O
x
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）雙曲線的漸近線方程是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（7）使成立的的取值范圍是 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
（8）圓的位置關(guān)系是 （ C ）
（A）相離 （B）外切 （C）相交 （D）內(nèi)切
（9）已知是第三象限角，且，那么等于
（A） （B） （C） （D）（ A ）
（10）如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，
D1 F1 C1
A1 E1 B1
D C
A B
B1E1=D1F1=，則BE1與DF1所成角
的余弦值是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（11）已知是x的減函數(shù)，則的取值范圍是（ B ）
（A）（0，2） （B）（0，1） （C）（1，2） （D）（2，+）
（12）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是 （ D ）
（A）-297 （B）-252 （C）297 （D）207
（13）已知直線，直線.有下面四個(gè)命題：（ D ）
① ②
③ ④
其中正確的兩個(gè)命題是
（A）①與② （B）③與④ （C）②與④ （D）①與③
（14）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為與，若
等于 （ C ）
（A）1 （B） （C） （D）
（15）用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有 （ A ）
（A）24個(gè) （B）30個(gè) （C）40個(gè) （D）60個(gè)
（16）方程的解是__________
答：3
（17）已知圓臺(tái)上、下底面圓周都在球面上，且下底面過(guò)球心，母線與底面所成的角為，則圓臺(tái)的體積與球體積之比_______
答：
(18)函數(shù)的最大值是_______
答：
（19）直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，并且與x軸垂直，則被拋物線截得的線段長(zhǎng)為_(kāi)______
答：4
二．填空題：本大題共5小題;每小題4分，共20分。把答案填在題中橫線上。
（20）四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有________種（用數(shù)字作答）
答：144
（21）（本小題滿分7分）
解方程
解：設(shè)，則原方程可化為
三．解答題：本大題共6小題;共65分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟。
所以原方程的解為x=2.
（22）（本小題滿分12分）
設(shè)復(fù)數(shù)求復(fù)數(shù)的模和輻角。
解：
所以復(fù)數(shù)的模為;
輻角為
（23）（本小題滿分10分）
設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和。
證明
證明：設(shè)的公比為，由題設(shè)知
（1）當(dāng)時(shí)，從而
（2）當(dāng)時(shí)，從而
由（1）和（2）得
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，知
即
證法二：設(shè)的公比為，由題設(shè)知
即（以下同證法一）
（24）（本小題滿分12分）
如圖，ABCD是圓柱的軸截面，點(diǎn)E在底面的圓周上，AF⊥DE，F(xiàn)是垂足。
（Ⅰ）求證：AF⊥DB;
（Ⅱ）如果AB=，圓柱與三棱錐D-ABE的體積比等于，求點(diǎn)E到截面ABCD的距離。
D C
F
A B
E
（Ⅰ）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，
DA⊥平面ABE
∵BE平面ABE，
∴DA⊥EB.
∵AB是圓柱底面的直徑，
點(diǎn)E在圓周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得
EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得
AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB
∴AF⊥DB.
（Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ABCD的距離為d
記AD=h，因圓柱軸截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB。
S△ABD=AB?AD=
VD-ABE=VE-ABD=S△ABD=
又V圓柱=π?AD=，
由題設(shè)知
即
（25）（本小題滿分12分）
某地為促進(jìn)淡水魚(yú)養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價(jià)格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對(duì)淡水魚(yú)養(yǎng)殖提供政府補(bǔ)貼。設(shè)淡水魚(yú)的市場(chǎng)價(jià)格為x元/千克，政府補(bǔ)貼為t元/千克，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)8≤x≤14時(shí)，淡水魚(yú)的市場(chǎng)日供應(yīng)量P千克與市場(chǎng)日需求量Q千克近似的滿足關(guān)系：
當(dāng)P=Q時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格。
（Ⅰ）將市場(chǎng)平衡價(jià)格表示為政府補(bǔ)貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域;
（Ⅱ）為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于每千克10元，政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元？
解：（Ⅰ）依題設(shè)有
化簡(jiǎn)得
當(dāng)判別式時(shí)，可得
解不等式組①，得不等式組②無(wú)解。
故所求的函數(shù)關(guān)系式為
函數(shù)的定義域?yàn)閇0，]
（Ⅱ）為使，應(yīng)有
化簡(jiǎn)得
解得
從而政府補(bǔ)貼至少為每千克1元。
（26）（本小題滿分12分）
已知橢圓，直線.P是上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|?|OP|=|OR|2.當(dāng)點(diǎn)P在上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。
解：由題設(shè)知點(diǎn)Q不在原點(diǎn).設(shè)P，R，Q的坐標(biāo)分別為
P
R
Q
O x
（12,yP),（xR,yR),（x,y),
由題設(shè)知xR,>0,x>0.
由點(diǎn)R在橢圓上及點(diǎn)O，Q，R共線，得方程組
解得
由點(diǎn)O，Q，P共線，得
即
由題設(shè)|OQ|?|OP|=|OR|2，得
將（1）、（2）（3）式代入上式，整理得點(diǎn)Q的軌跡方程
所以點(diǎn)Q的軌跡是以（1，0）為中心，長(zhǎng)、短半軸分別為1和且長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。
一九九六年（理科）
（1）已知全集I=N，集合，。則 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
(A) y (B) y (C) y (D) y
o 1 x o 1 x o 1 x o 1 x
（3）若，則x的取值范圍是 （ D ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）復(fù)數(shù)等于 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（5）如果直線、與平面、、滿足：和，那么必有 （ A ）
（A）且 （B）且
（C）且 （D）且
（6）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的 （ D ）
（A）最大值是1，最小值是-1
（B）最大值是1，最小值是
（C）最大值是2，最小值是-2
（D）最大值是2，最小值是-1
（7）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是 （ B ）
（A）（-3，5），（-3，-3） （B）（3，3），（3，-5）
（C）（1，1），（-7，1） （D）（7，-1），（-1，-1）
（8）若，則等于 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
（9）將邊長(zhǎng)為的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得BD=，則三棱錐D-ABC的體積為 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（10）等比數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，若，則等于 （ B ）
（A） （B） （C）2 （D）-2
（11）橢圓的極坐標(biāo)方程為，則它在短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)是 （ C ）
（A）（3，0），（1，） （B）（），（）
（C）（2，），（2，） （D）（），（）
（12）等差數(shù)列的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為 （ C ）
（A）130 （B）170 （C）210 （D）260
（13）設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線過(guò)（，0），（0，）兩點(diǎn)。已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為 （ A ）
（A）2 （B） （C） （D）
（14）母線長(zhǎng)為1的圓錐的體積最大時(shí)，其側(cè)面展開(kāi)圖圓心角等于 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（15）設(shè)是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則等于 （ B ）
一．選擇題：本題共15個(gè)小題;第（1）-（10）題每小題4分，第（11）-（15）題每小題5分，共65分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5
（16）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。則p=__________
答：2
（17）正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有_______個(gè)（用數(shù)字作答）
答：32
(18)的值是_______
A B
F E
答：
（19）如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成600的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是_______
答：
（20）（本小題滿分11分）
解不等式
解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組：
因?yàn)樗?/p>
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組：
由（1）得，
由（2）得，
綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
（21）（本小題滿分12分）
已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足：
A+C=2B，求的值。
解：由題設(shè)條件知：
B=600，A+C=1200
利用和差化積及積化和差公式，上式可化為
將代入上式并整理得
從而得
（22）（本小題滿分12分）
如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥側(cè)面AC1
A C
B
E
A1 C1
B1
（Ⅰ）求證：BE=EB1;
（Ⅱ）若AA1=A1B1，求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角（銳角）的度數(shù)。
注意：在下面橫線上填寫(xiě)適當(dāng)內(nèi)容，使之成為（Ⅰ）的完整證明，并解答（Ⅱ）。
（Ⅰ）證明：在截面A1EC內(nèi)，
過(guò)E作EG⊥A1C，G是垂足。
A F C
B
三．解答題：本大題共5小題;共50分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟。
E
A1 C1
D B1
①∵面A1EC⊥側(cè)面AC1，
∴EG⊥側(cè)面AC1;取AC中點(diǎn)F，連結(jié)BF，F(xiàn)G，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵面ABC⊥側(cè)面AC1，
∴BF⊥側(cè)面AC1;得BF∥EG，BF、EG確定一個(gè)平面，交側(cè)面AC1于FG。
③∵BE∥側(cè)面AC1，
∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG，
④∵BE∥AA1，
∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，
⑤∵AF=FC，
∴FG=AA1=BB1，即BE=BB1，故BE=EB1。
（Ⅱ）解：分別延長(zhǎng)CE、C1B1交于點(diǎn)D，連結(jié)A1D
∵EB1∥CC1，EB1=BB1=CC1，
∴DB1=DC1=B1C1=A1B1，
∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=600，∠DA1B1=∠A1DB1=（1800-∠DB1A1）=300，
∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=900，即DA1⊥A1C1。
∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根據(jù)三垂線定理得DA1⊥A1C
所以∠CA1C1是所求二面角的平面角。
∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=900，
∴∠CA1C1=450，即所求二面角為450。
（23）（本小題滿分10分）
某地現(xiàn)有耕地１0000公頃。規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增長(zhǎng)率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到１公頃）？
（=，=）
解：設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃。
依題意得不等式
化簡(jiǎn)得
答：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃。
（24）（本小題滿分12分）
已知是過(guò)點(diǎn)P（）的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各有兩交點(diǎn)，分別為A1、B1和A2、B2。
（Ⅰ）求的斜率k1的取值范圍;
（Ⅱ）若|A1B1|=|A2B2|，求的方程。
解：（Ⅰ）依題意，的斜率都存在。因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（）且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程組
（1）
有兩個(gè)不同的解。在方程組（1）中消去y，整理得
（2）
若，則方程組（1）只有一個(gè)解，即與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，與題設(shè)矛盾。
故，即。方程（2）的判別式為
設(shè)的斜率為k2,因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（）且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程組
（3）
有兩個(gè)不同的解。在方程組（3）中消去y，整理得
（4）
同理有，
又因?yàn)椋杂?/p>
于是，與雙曲線各有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于
（Ⅱ）設(shè)A1（x1,y1）B1（x2,y2）.由方程（2）知
同理，由方程（4）可求得|A2B2|2，整理得
由|A1B1|=|A2B2|，得|A1B1|2=5|A2B2|2.
將（5）、（6）代入上式得
解得
取時(shí)，
取時(shí)，
（25）（本小題滿分12分）
已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)當(dāng)時(shí)，
（Ⅰ）證明：
（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，
（Ⅲ）設(shè)當(dāng)時(shí)，的最大值為2，求.
（Ⅰ）證明：由條件當(dāng)時(shí)，，
取x=0得，即
（Ⅱ）證法一：當(dāng)時(shí)，在[-1，1]上是增函數(shù)，
由此得
當(dāng)時(shí)，在[-1，1]上是減函數(shù)，
由此得
當(dāng)時(shí)，
綜上得
證法二：由可得
當(dāng)時(shí)，有
根據(jù)含絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)，得
即
（Ⅲ）因?yàn)闀r(shí)，在[-1，1]上是增函數(shù)，
當(dāng)x=1時(shí)取最大值2，
即
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，直線x=0為的圖象的對(duì)稱軸，由此得
由（1）得
所以
一九九六年（文科）
（1）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7}集合A={1，3，5，7}，B={3，5}.則 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
(A) y (B) y (C) y (D) y
o 1 x o 1 x o 1 x o 1 x
（3）若，則x的取值范圍是 （ D ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）復(fù)數(shù)等于 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（5）6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有 （ C ）
（A）720種 （B）360種 （C）240種 （D）120種
（6）已知是第三象限角且，則 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（7）如果直線、與平面、、滿足：和，那么必有 （ A ）
（A）且 （B）且
（C）且 （D）且
（8）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的 （ D ）
（A）最大值是1，最小值是-1
（B）最大值是1，最小值是
（C）最大值是2，最小值是-2
（D）最大值是2，最小值是-1
（9）中心在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，離心率為的橢圓方程是
（A） （B） （ A ）
（C） （D）
（10）圓錐母線長(zhǎng)為1，側(cè)面展開(kāi)圖圓心角為2400，該圓錐的體積是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（11）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是 （ B ）
（A）（-3，5），（-3，-5） （B）（3，3），（3，-5）
（C）（1，1），（-7，1） （D）（7，-1），（-1，-1）
（12）將邊長(zhǎng)為的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得BD=，則三棱錐D-ABC的體積為 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（13）等差數(shù)列的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為 （ C ）
（A）130 （B）170 （C）210 （D）260
（14）設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線過(guò)（，0），（0，）兩點(diǎn)。已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為 （ A ）
（A）2 （B） （C） （D）
（15）設(shè)是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則等于 （ B ）
一．選擇題：本題共15個(gè)小題;第（1）-（10）題每小題4分，第（11）-（15）題每小題5分，共65分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5
（16）已知點(diǎn)（-2，3）與拋物線的焦點(diǎn)的距離是5，則p=__________
答：4
（17）正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有_______個(gè)（用數(shù)字作答）
答：32
(18)的值是_______
A B
F E
答：
（19）如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成600的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是_______
答：
（20）（本小題滿分11分）
解不等式
解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組：
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組：
綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為
（21）（本小題滿分12分）
設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q.
三．解答題：本大題共5小題;共50分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟。
解：q=1，則有S3=3，S6=6，S9=9.但，即得S3+S6≠2S9，與題設(shè)矛盾，故.
又依題意S3+S6=2S9可得
（22）（本小題滿分12分）
已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足：
A+C=2B，求的值。
解：由題設(shè)條件知：
B=600，A+C=1200
利用和差化積及積化和差公式，上式可化為
將代入上式并整理得
從而得
（23）（本小題滿分12分）
【注意：本題的要求是，參照標(biāo)本①的寫(xiě)法，在標(biāo)本②、③、④、⑤的橫線上填寫(xiě)適當(dāng)步驟，完成（Ⅰ）證明的全過(guò)程;并解答（Ⅱ）.】
如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=，E、F分別是BB1、CC1上的點(diǎn)，且BE=，CF=2
A1 C1
B1
F
E
A C
B
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF;
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積。
（Ⅰ）證明：
①∵BE=，CF=2，BE∥CF，延長(zhǎng)FE與CB延長(zhǎng)線交于D，連結(jié)AD。
∴△DBE∽△DCF，
∴
②∵BE:CF=1:2，∴DC=2DB，∴DB=BC，
∴DB=AB.
③∵△ABD是等腰三角形，
且∠ABD=1200，∴∠BAD=300，
∴∠CAD=900，∴DA⊥AC.
④∵FC⊥面ACD，∴CA是FA在面ACD上的射影，
且CA⊥AD，∴FA⊥AD.
⑤∵FF∩AC=A，DA⊥面ACF，而DA 面ADF，
A1 G C1
B1
F
A C
B
D
∴面ADF⊥面ACF.∴面AEF⊥面ACF.
（Ⅱ）解：∵VA1-AEF=VE-AA1F.
在面A1B1C1內(nèi)作B1G⊥A1C1，
垂足為G. B1G=.
面A1B1C1⊥面A1C，
∴EBB1，而B(niǎo)B1∥面A1C，
∴三棱錐E-AA1F的高為.
S△A1AF=?AA1?AC=.
∴VA1-AEF=VE-AA1F=
（24）（本小題滿分10分）
某地現(xiàn)有耕地１0000公頃。規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增長(zhǎng)率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到１公頃）？
（=，=）
解：設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃。
依題意的不等式
化簡(jiǎn)得
答：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃。
（25）（本小題滿分12分）
已知是過(guò)點(diǎn)P（）的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各有兩交點(diǎn)，分別為A1、B1和A2、B2。
（Ⅰ）求的斜率k1的取值范圍;
（Ⅱ）若A1恰是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，求|A2B2|的值。
解：（Ⅰ）依題意，的斜率都存在。因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（）且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程組
（1）
有兩個(gè)不同的解。在方程組（1）中消去y，整理得
（2）
若，則方程組（1）只有一個(gè)解，即與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，與題設(shè)矛盾。
故，即。方程（2）的判別式為
設(shè)的斜率為k2,因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（）且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程組
（3）
有兩個(gè)不同的解。在方程組（3）中消去y，整理得
（4）
同理有，
又因?yàn)椋杂?/p>
于是，與雙曲線各有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于
（Ⅱ）雙曲線的頂點(diǎn)為（0，1）、（0，-1）。
取A1（0，1）時(shí)，有
解得從而，
將代入方程（4）得
（5）
記與雙曲線的兩交點(diǎn)為A2（x1,y1）B2（x2,y2）.則
由（5）知
同理，由方程（4）可求得|A2B2|2，整理得
當(dāng)取A1（0，-1）時(shí)，由雙曲線關(guān)于x軸的對(duì)稱性，知
所以過(guò)雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，。
一九九七年（理科）
（1）設(shè)集合M=，集合N=，集合 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）如果直線與直線平行，那么系數(shù) （ B ）
（A）-3 (B)-6 (C) (D)
（3）函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象是 （ A ）
(A) (B) (C) (D)
o x o x o x o x
（4）已知三棱錐D-ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB=AC=，BC=2，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的大小是
（A） （B） （C） （D） （ C ）
（5）函數(shù)的最小正周期是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）滿足的x的取值范圍是 （ D ）
（A）[-1，]（B）[，0]（C）[0，]（D）[，1]
（7）將的圖象 （ D ）
（A）先向左平行移動(dòng)1個(gè)單位（B）先向右平行移動(dòng)1個(gè)單位
（C）先向上平行移動(dòng)1個(gè)單位（D）先向下平行移動(dòng)1個(gè)單位
再作關(guān)于直線對(duì)稱的圖象，可得到函數(shù)的圖象
（8）長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)分別是3，4，5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，這個(gè)球的表面積是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（9）曲線的參數(shù)方程是，它的普通方程是（A） （B） （ B ）
（C） （D）
（10）函數(shù)的最小值為 （ B ）
（A）2 （B）0 （C） （D）6
（11）橢圓C與橢圓關(guān)于直線對(duì)稱，橢圓C的方程是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（12）圓臺(tái)上、下底面積分別為，側(cè)面積為，這個(gè)圓臺(tái)的體積是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（13）定義在區(qū)間的奇函數(shù)為增函數(shù);偶函數(shù)在區(qū)間的圖象與的圖象重合。設(shè)，給出下列不等式： （ C ）
① ②
③ ④
其中成立的是
（A）①與④ （B）②與③ （C）①與③ （D）②與④
（14）不等式組的解集是 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
（15）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有 （ D ）
（A）150種 （B）147種 （C）144種 （D）141種
（16）已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為，常數(shù)的值為_(kāi)____
答：4
（17）已知直線的極坐標(biāo)方程為，則極點(diǎn)到該直線的距離是_______
答：
(18)的值為_(kāi)______
答：
（19）已知是直線，是平面，給出下列命題：
①若垂直于內(nèi)的兩條相交直線，則
②若平行于，則平行于內(nèi)的所有直線;
③若
④若
⑤若
其中正確的命題的序號(hào)是________（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）
答：①，④
（20）（本小題滿分10分）
已知復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，Q。證明：△OPQ是等腰直角三角形（其中O為原點(diǎn)）
解：因?yàn)?/p>
因?yàn)?/p>
于是
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ| .
由此知△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形。
（21）（本小題滿分11分）
已知數(shù)列都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為，其中，且設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和.求
解：
分兩種情況討論：
（1）
（2）
（22）（本小題滿分12分）
甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)C千米/小時(shí)。，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/小時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為；固定部分為元。
（Ⅰ）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/小時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？
解：（Ⅰ）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為，
全程運(yùn)輸成本為
故所求函數(shù)及其定義域?yàn)?/p>
（Ⅱ）依題意知S，都為正數(shù)，故有
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式中等號(hào)成立。
若時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最小
若時(shí)，有
因?yàn)?/p>
所以時(shí)等號(hào)成立，也即當(dāng)時(shí)，
全程運(yùn)輸成本y最小。
綜上知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)時(shí)行駛速度應(yīng)為
當(dāng)時(shí)行駛速度應(yīng)為。
（23）（本小題滿分12分）
如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)。
D1 C1
A1 B1
三．解答題：本大題共6小題;共69分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟。
E
D C
H F
A B
G
（Ⅰ）證明AD⊥D1F;
（Ⅱ）求AE與D1F所成的角;
（Ⅲ）證明面AED⊥面A1FD1;
（Ⅳ）設(shè)AA1=2，求三棱錐F-A1ED1的
體積VF-A1ED1.
解：（Ⅰ）∵AC1是正方體，
∴AD⊥面DC1，又D1F面DC1，
∴AD⊥D1F.
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)G，連結(jié)A1G，F(xiàn)G
因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以GF、AD平行且相等，
又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，
故GFD1A1是平行四邊形，A1G∥D1F。
設(shè)A1G與AE相交與點(diǎn)H，則∠AHA1是AE與D1F所成的角。
因?yàn)镋是BB1的中點(diǎn)，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，
∠GA1A=∠GAH，從而∠AHA1=900，即直線AE與D1F所成角為直角。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED
又因?yàn)镈1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.
（Ⅳ）連結(jié)GE，GD1.
∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1，
∴體積VF-A1ED1=VG-A1ED1=VD1-A1GE，
∵AA1=2，∴面積S△A1GE=S□ABB1A1-2S△A1AG-S△GBE=
∴VF-A1ED1=VD1-A1GE=
（24）（本小題滿分12分）
設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，證明：
解：（Ⅰ）令因?yàn)槭欠匠痰母�，所�?/p>
（Ⅱ）依題意知
因?yàn)槭欠匠痰母词欠匠?/p>
的根
所以
（25）（本小題滿分12分）
設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2;②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3:1。在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線：的距離最小的圓的方程。
解法一：設(shè)圓的圓心為，半徑為，則點(diǎn)P到x軸，y軸距離分別為
由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對(duì)的圓心角為900，知圓P截x軸所得的弦長(zhǎng)為，故
又圓P截y軸所得的弦長(zhǎng)為2，所以有從而得
又點(diǎn)到直線的距離為
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)，從而取得最小值.
由此有解此方程組得
由于知
于是，所求圓的方程是
解法二：同解法一得
，得
將代入（1）式，整理得
把它看作的二次方程，由于方程有實(shí)根，故判別式非負(fù)，即
所以 有最小值1，從而有最小值
將其中代入（2）式得解得
將代入
綜上
由同號(hào)。
于是，所求圓的方程是
一九九七年（文科）
（1）設(shè)集合M=，集合N=，集合 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）如果直線與直線平行，那么系數(shù) （ B ）
（A）-3 (B)-6 (C) (D)
（3）函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象是 （ A ）
(A) (B) (C) (D)
o x o x o x o x
（4）已知三棱錐D-ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB=AC=，BC=2，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的大小是
（A） （B） （C） （D） （ C ）
（5）函數(shù)的最小正周期是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）滿足的角的一個(gè)取值區(qū)間是 （ C ）
（A）（0，] （B）[0，] （C）[，） （D）[，]
（7）設(shè)函數(shù)定義域在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)與
的圖象關(guān)于 （ D ）
（A）直線y=0對(duì)稱 （B）直線x=0對(duì)稱
（C）直線y=1對(duì)稱 （D）直線x=1對(duì)稱
（8）長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)分別是3，4，5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，這個(gè)球的表面積是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（9）如果直線將圓：平分，且不通過(guò)第四象限，那么的斜率的取值范圍是 （ A ）
（A）[0，2] （B）[0，1] （C）[0，] （D）[0，）
（10）函數(shù)的最小值為 （ B ）
（A）2 （B）0 （C） （D）6
（11）橢圓C與橢圓關(guān)于直線對(duì)稱，橢圓C的方程是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（12）圓臺(tái)上、下底面積分別為，側(cè)面積為，這個(gè)圓臺(tái)的體積是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（13）定義在區(qū)間的奇函數(shù)為增函數(shù);偶函數(shù)在區(qū)間的圖象與的圖象重合。設(shè)，給出下列不等式： （ C ）
① ②
③ ④
其中成立的是
（A）①與④ （B）②與③ （C）①與③ （D）②與④
（14）不等式組的解集是 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
（15）四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)與各棱中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有 （ B ）
（A）30種 （B）33種 （C）36種 （D）39種
（16）已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為，常數(shù)的值為_(kāi)____
答：4
（17）已知直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，那么線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是_______
答：（4，2）
(18)的值為_(kāi)______
答：
（19）已知是直線，是平面，給出下列命題：
①若垂直于內(nèi)的兩條相交直線，則
②若平行于，則平行于內(nèi)的所有直線;
③若
④若
⑤若
其中正確的命題的序號(hào)是________（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）
答：①，④
（20）（本小題滿分10分）
已知復(fù)數(shù)求復(fù)數(shù)的模及輻角主值。
解：
故復(fù)數(shù)的模為，輻角主值為.
（21）（本小題滿分11分）
設(shè)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和。已知與的等比中項(xiàng)為，與的等差數(shù)列中項(xiàng)為1。求等差數(shù)列的通項(xiàng).
解：設(shè)等差數(shù)列數(shù)列的首項(xiàng)公差為，
則通項(xiàng)為
前n項(xiàng)和為
依題意有
其中由此可得
整理得解方程組得
由此得
經(jīng)驗(yàn)證知均適合題意。
故所求等差數(shù)列的通項(xiàng)為
（22）（本小題滿分12分）
甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)C千米/小時(shí)。，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/小時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為；固定部分為元。
（Ⅰ）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/小時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？
解：（Ⅰ）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為，
全程運(yùn)輸成本為
故所求函數(shù)及其定義域?yàn)?/p>
（Ⅱ）依題意知S，都為正數(shù)，故有
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式中等號(hào)成立。
若時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最小
若時(shí)，有
因?yàn)?/p>
所以時(shí)等號(hào)成立，也即當(dāng)時(shí)，
全程運(yùn)輸成本y最小。
綜上知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)時(shí)行駛速度應(yīng)為
當(dāng)時(shí)行駛速度應(yīng)為。
（23）（本小題滿分12分）
D1 C1
三．解答題：本大題共6小題;共69分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟。
A1 B1
D C
F
A B
G
如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)。
（Ⅰ）證明AD⊥D1F;
（Ⅱ）求AE與D1F所成的角;
（Ⅲ）證明面AED⊥面A1FD1;
（Ⅳ）設(shè)AA1=2，求三棱錐E-AA1F的體積VE-AA1F.
解：（Ⅰ）∵AC1是正方體，
∴AD⊥面DC1，又D1F面DC1，
∴AD⊥D1F.
（Ⅱ）取AB中點(diǎn)G，連結(jié)A1G，F(xiàn)G
因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以GF、AD平行且相等，
又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，
故GFD1A1是平行四邊形，A1G∥D1F。
設(shè)A1G與AE相交與點(diǎn)H，則∠AHA1是AE與D1F所成的角。
因?yàn)镋是BB1的中點(diǎn)，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，
∠GA1A=∠GAH，從而∠AHA1=900，即直線AE與D1F所成角為直角。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED
又因?yàn)镈1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.
（Ⅳ）∵體積VE-AA1F=VF-AA1E，
又FG⊥面ABB1A1，三棱錐F-AA1E的高FG=AA1=2，
面積S△AA1E=S□ABB1A1=
∴VE-AA1F =
（24）（本小題滿分12分）
已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)的圖象交于C、D兩點(diǎn)。
（Ⅰ）證明點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一條直線上;
（Ⅱ）當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。
解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為，
由題設(shè)知，，則點(diǎn)A、B縱坐標(biāo)分別為
因?yàn)锳、B在過(guò)點(diǎn)O的直線上，
所以
點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為
由于
OC的斜率OD的斜率
由此可知，
即O、C、D在同一條直線上。
（Ⅱ）由于BC平行于x軸知即得
代入得
由于
考慮
于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為
（25）（本小題滿分12分）
設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2;②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3:1;③圓心到直線：的距離為。求該圓的方程。
解法一：設(shè)圓的圓心為，半徑為，則點(diǎn)P到x軸，y軸距離分別為
由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對(duì)的圓心角為900，知圓P截x軸所得的弦長(zhǎng)為，故
又圓P截y軸所得的弦長(zhǎng)為2，所以有從而得
又點(diǎn)到直線的距離為，所以
即有，由此有
解方程組得于是知
所求圓的方程是
于是，所求圓的方程是
一九九八年（理科）
（1）的值是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（2）函數(shù)的圖象是 （ B ）
1
1 1
o x o x o x o x
（3）曲線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程為 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（4）兩條直線A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件（ A ）
（A）A1A2+B1B2=0（B）A1A2-B1B2=0（C）（D）
（5）函數(shù)的反函數(shù) （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）已知點(diǎn)P在第一象限，則在內(nèi)的取值范圍是 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知圓錐的全面積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為 （ C ）
（A）1200 （B）1500 （C）1800 （D）2400
（8）復(fù)數(shù)-i的一個(gè)立方根是i，它的另外兩個(gè)立方根是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（9）如果棱臺(tái)的兩底面積分別是S，S＇，中截面的面積是S0，那么 （ A ）
H h
（A） （B）
（C） （D）
（10）向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如右圖所示，那么水瓶的形狀是 （ B ）
（11）3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體驗(yàn)，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士。不同的分配方法共有 （ D ）
（A）90種 （B）180種 （C）270種 （D）540種
（12）橢圓的焦點(diǎn)為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上。如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的 （ A ）
（A）7倍 （B）5倍 （C）4倍 （D）3倍
（13）球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)這3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為，那么這個(gè)球的半徑為（ B ）
（A） （B） （C）2 （D）
（14）一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為（ B ）
（A）（B）（C）（D）
（15）在等比數(shù)列中，且前n項(xiàng)和滿足那么的取值范圍是 （ D ）
（A） （B）（1，4） （C）（1，2） （D）（1，）
（16）設(shè)圓過(guò)雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是__________
答：
（17）的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）
答：179
B1
C1
A D
B
C
(18)如圖，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_______時(shí)，有A1C⊥B1D1.（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）
答：AC⊥CD，（或ABCD是正方形，菱形等等）
（19）關(guān)于函數(shù)，
有下列命題：
①由可得必是的整數(shù)倍;
②的表達(dá)式可改寫(xiě)成
③的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;
④的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
其中正確的命題的序號(hào)是________（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）
答：②，③
（20）（本小題滿分10分）
在△ABC中，分別是接A，B，C的對(duì)邊，設(shè)A-C=求的值。以下公式供解題時(shí)參考：
解：由正弦定理和已知條件得
由和差化積公式
由A+B+C=得
又A-C=得
（21）（本小題滿分11分）
三．解答題：本大題共6小題;共69分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟。
如圖，直線和相交于點(diǎn)M，⊥，點(diǎn)以A，B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程。
B
A
M O N x
解法一：如圖建立坐標(biāo)系，以為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)。依題意知：曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A，B分別為C的端點(diǎn)。
設(shè)曲線段C的方程為
其中分別為A，B的橫坐標(biāo)，
由得
由（1），（2）兩式聯(lián)立解得再將其代入（1）式并由解得
因?yàn)椤鰽MN為銳角三角形，所以故舍去
由點(diǎn)B在曲線段C上，得
綜上得曲線段C的方程為
y
F
A
D
M O E N x
解法二：如圖建立坐標(biāo)系，
以、為x、y軸，M為坐標(biāo)原點(diǎn).
作AE⊥，AD⊥，BF⊥，垂足分別為E、D、F.
設(shè)
依題意有
由于△AMN為銳角三角形，故有
設(shè)點(diǎn)是曲線段C上任一點(diǎn)，得由題意知P屬于集合
故曲線段C的方程為
（22）（本小題滿分12分）
B
2
如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱。污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出。設(shè)箱體的長(zhǎng)度為米，高度為米。已知流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與的乘積成反比。現(xiàn)有制箱材料60平方米。問(wèn)當(dāng)各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。ˋ、B孔的面積忽略不計(jì)）
解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則，其中k＞0為比例系數(shù)。依題意，即所求的值使y值最小。
根據(jù)題設(shè)，有
得
于是
當(dāng)時(shí)取等號(hào)，y達(dá)到最小值
這時(shí)（舍去）
將代入（1）式得
故當(dāng)為6米，為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。
解法二：即所求的值使最大
由題設(shè)知
即
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào).
由解得
即當(dāng)時(shí)，取得最大值為18.
解得
故當(dāng)為6米，為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。
（23）（本小題滿分12分）
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=，且AA1⊥A1C，AA1=A1C.
（Ⅰ）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大小;
（Ⅱ）求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小;
（Ⅲ）求頂點(diǎn)C到側(cè)面A1ABB1的距離。
B1
H
D
A C
E B
（Ⅰ）解：作A1D⊥AC，垂足為D，
由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，∴∠A1AD為A1A與面ABC所成的角.∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，
∴∠A1AD=450為所求。
（Ⅱ）解：作DE⊥AB，垂足為E，連A1E，則由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB，
∴∠A1ED是面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角.
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC.
又D是AC的中點(diǎn)，BC=2，AC=，
∴DE=1，AD=A1D=，
故∠A1ED=600為所求。
（Ⅲ）解法一：由點(diǎn)C作平面A1ABB1的垂線，垂足為H，則CH的長(zhǎng)是C到平面A1ABB1的距離。
連結(jié)HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB.
又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，∴∠HBC=∠A1ED=600.
∴CH=BC為所求.
解法二：連結(jié)A1B.
根據(jù)定義，點(diǎn)C到面A1ABB1的距離，即為三棱錐C-A1AB的高h(yuǎn)
由
即為所求.
（24）（本小題滿分12分）
設(shè)曲線C的方程是將C沿x軸、y軸正向分別平行移動(dòng)t、s單位長(zhǎng)度后得曲線C1.
（Ⅰ）寫(xiě)出曲線C1的方程;
（Ⅱ）證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;
（Ⅲ）如果C與C1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明
（Ⅰ）解：曲線C1的方程為
（Ⅱ）證明：在曲線C上任取一點(diǎn)B1（x1,y1).設(shè)B2（x2,y2)是B1關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，則有
代入曲線C的方程，得滿足方程：
，
可知點(diǎn)B2（x2,y2)在曲線C1上.
反過(guò)來(lái)，同樣可以證明，在曲線C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上.
因此，曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱。
（Ⅲ）證明：因?yàn)榍�C與C1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，，所以，方程組有且僅有一組解。
消去y，整理得
這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程有且僅有一個(gè)根。
所以并且其根的判別式
（25）（本小題滿分12分）
已知數(shù)列是等差數(shù)列，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)，記是數(shù)列的前n項(xiàng)和.試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.
解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意得
（Ⅱ）由知
因此要比較與的大小，可先比較
的大小。
取n=1有
取n=2有
……
由此推測(cè) ①
若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：
當(dāng)時(shí)，＞.
當(dāng)時(shí)，＜.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.
（i）當(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證①式成立.
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，①式成立，即
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，
因而
就是說(shuō)①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立。由（i）（ii）知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立。
因此證得：當(dāng)時(shí)，＞.
當(dāng)時(shí)，＜.
一九九八年（文科）
（1）的值是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（2）函數(shù)的圖象是 （ B ）
1
1 1
o x o x o x o x
（3）已知直線和圓相切，那么的值是
（A）5 （B）4 （C）3 （D）2 （ C ）
（4）兩條直線A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件（ A ）
（A）A1A2+B1B2=0（B）A1A2-B1B2=0（C）（D）
（5）函數(shù)的反函數(shù) （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）已知點(diǎn)P在第一象限，則在內(nèi)的取值范圍是 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知圓錐的全面積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為 （ C ）
（A）1200 （B）1500 （C）1800 （D）2400
（8）復(fù)數(shù)-i的一個(gè)立方根是i，它的另外兩個(gè)立方根是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（9）如果棱臺(tái)的兩底面積分別是S，S＇，中截面的面積是S0，那么 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
（10）2名醫(yī)生和4名護(hù)士被分配到2所學(xué)校為學(xué)生體驗(yàn)，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士。不同的分配方法共有 （ B ）
H h
（A）6種 （B）12種 （C）18種 （D）24種
（11）向高為H的水瓶中注水，注滿
為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)
關(guān)系的圖象如右圖所示，那么水瓶的
形狀是 （ B ）
（12）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在橢圓上。如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
（13）球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)這3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為，那么這個(gè)球的半徑為（ B ）
（A） （B） （C）2 （D）
（14）一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角的正弦值為 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
（15）等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)和滿足那么的值為 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
（16）設(shè)圓過(guò)雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是__________
答：
（17）的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）
答：179
A1 D1
B1
C1
A D
B
C
(18)如圖，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_______時(shí)，有A1C⊥B1D1.（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）
答：AC⊥CD，（或ABCD是正方形，菱形等等）
（19）關(guān)于函數(shù)，
有下列命題：
①的表達(dá)式可改寫(xiě)成
②是以為最小正周期的周期函數(shù);
③的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;
④的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
其中正確的命題的序號(hào)是________（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）
答：①，③
（20）（本小題滿分10分）
設(shè)，解關(guān)于x的不等式
解：將原不等式化為
移項(xiàng)，整理后得
，即
即
解此不等式，得解集
（21）（本小題滿分11分）
在△ABC中，分別是接A，B，C的對(duì)邊，設(shè)A-C=求的值。以下公式供解題時(shí)參考：
解：由正弦定理和已知條件得
由和差化積公式
由A+B+C=得
又A-C=得
（22）（本小題滿分12分）
三．解答題：本大題共6小題;共69分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟。
如圖，直線和相交于點(diǎn)M，⊥，點(diǎn)以A，B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程。
B
A
M O N x
解法一：如圖建立坐標(biāo)系，以為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)。依題意知：曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A，B分別為C的端點(diǎn)。
設(shè)曲線段C的方程為
其中分別為A，B的橫坐標(biāo)，
由得
由（1），（2）兩式聯(lián)立解得再將其代入（1）式并由解得
因?yàn)椤鰽MN為銳角三角形，所以故舍去
由點(diǎn)B在曲線段C上，得
綜上得曲線段C的方程為
y
F
A
D
M O E N x
解法二：如圖建立坐標(biāo)系，
以、為x、y軸，M為坐標(biāo)原點(diǎn).
作AE⊥，AD⊥，BF⊥，垂足分別為E、D、F.
設(shè)
依題意有
由于△AMN為銳角三角形，故有
設(shè)點(diǎn)是曲線段C上任一點(diǎn)，得由題意知P屬于集合
故曲線段C的方程為
（23）（本小題滿分12分）
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=，且AA1⊥A1C，AA1=A1C.
（Ⅰ）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大小;
（Ⅱ）求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小;
（Ⅲ）求側(cè)棱B1B和側(cè)面A1ACC1的距離。
B1
D F
A C
E B
（Ⅰ）解：作A1D⊥AC，垂足為D，
由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，∴∠A1AD為A1A與面ABC所成的角.∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，
∴∠A1AD=450為所求。
（Ⅱ）解：作DE⊥AB，垂足為E，連A1E，則由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB，
∴∠A1ED是面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角.
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC.
又D是AC的中點(diǎn)，BC=2，AC=，
∴DE=1，AD=A1D=，
故∠A1ED=600為所求。
（Ⅲ）作BF⊥AC，F(xiàn)為垂足，由面A1ACC1⊥面ABC，知BF⊥面A1ACC1
∵B1B∥面A1ACC1
∴BF的長(zhǎng)是B1B和平面A1ACC1的距離。
連結(jié)HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB.
在Rt△ABC中，
∴為所求。
（24）（本小題滿分12分）
B
2
如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱。污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出。設(shè)箱體的長(zhǎng)度為米，高度為米。已知流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與的乘積成反比�，F(xiàn)有制箱材料60平方米。問(wèn)當(dāng)各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。ˋ、B孔的面積忽略不計(jì)）
解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則，其中k＞0為比例系數(shù)。依題意，即所求的值使y值最小。
根據(jù)題設(shè)，有
得
于是
當(dāng)時(shí)取等號(hào)，y達(dá)到最小值
這時(shí)（舍去）
將代入（1）式得
故當(dāng)為6米，為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。
解法二：即所求的值使最大
由題設(shè)知
即
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào).
由解得
即當(dāng)時(shí)，取得最大值為18.
解得
故當(dāng)為6米，為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。
（25）（本小題滿分12分）
已知數(shù)列是等差數(shù)列，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)，記是數(shù)列的前n項(xiàng)和.試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.
解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意得
（Ⅱ）由知
因此要比較與的大小，可先比較
的大小。
取n=1有
取n=2有
……
由此推測(cè) ①
若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：
＞.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.
（i）當(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證①式成立.
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，①式成立，即
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，
因而
就是說(shuō)①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立。
由（i）（ii）知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立。
因此證得＞.
一九九九年（理科）
（1）如圖,I是全集，M、P、S是I的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是，則 （ C ）
（A）（MP）S
（B）（MP）S
（C）（MP）
（D）（MP）
（2）已知映射其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且對(duì)任意的，在B中和它對(duì)應(yīng)的元素是，則集合B中元素的個(gè)數(shù)是（ A ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（3）函數(shù)的反函數(shù)是，則等于（A） （B） （C） （D） （ A ）
（4）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，則函數(shù)上 （ C ）
（A）是增函數(shù) （B）是減函數(shù)
（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值-M
（5）若是周期為的奇函數(shù)，則可以是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）在極坐標(biāo)系中，曲線關(guān)于 （ B ）
（A）直線軸對(duì)稱 （B）直線軸對(duì)稱
（C）點(diǎn)中心對(duì)稱 （D）極點(diǎn)中心對(duì)稱
（7）若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面的高度為6cm。若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是 （ B ）
（A）cm （B）6cm （C）cm （D）cm
（8）若
的值為 （ A ）
（A）1 （B）-1 （C）0 （D）2
（9）直線截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為
（A） （B） （C） （D） （ C ）
E F
D C
A B
（10）如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF=，EF與面AC的距離為2，則多面體的體積為 （ D ）
（A） （B）5 （C）6 （D）
（11）若 （ B ）
（A）（，）（B）（，0）（C）（0，）（D）（，）
（12）如果圓臺(tái)的上底面半徑為5，下底面半徑為R，中截面把圓臺(tái)分為上、下兩個(gè)圓臺(tái)，它們的側(cè)面積比為1:2，那么R= （ D ）
（A）10 （B）15 （C）20 （D）25
（13）已知兩點(diǎn)M（1，）、N（-4，-），給出下列曲線方程：
① ② ③ ④
在曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是 （ D ）
（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④
（14）某電腦用戶計(jì)劃使用不超過(guò)500元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤(pán)。根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤(pán)至少買2盒，則不同的選購(gòu)方式共有 （ C ）
（A）5種 （B）6種 （C）7種 （D）8種
（15）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線為。若過(guò)F1且垂直于x軸的弦長(zhǎng)等于點(diǎn)F1到的距離，則橢圓的離心率是__________
答：
（16）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟。為有利于作物生長(zhǎng)，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共用______種（用數(shù)字作答）
答：12
（17）若正數(shù)滿足，則的取值范圍是_______
答：
（18）是兩個(gè)不同平面，是平面之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：
① ② ③ ④
以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：__________
答：，，或，，
（19）（本小題滿分10分）
解不等式
解：原不等式等價(jià)于
由(1)得由(2)得
由(3)得由此得
當(dāng)時(shí)得所求的解集是;
當(dāng)時(shí)得所求的解集是
（20）（本小題滿分12分）
設(shè)復(fù)數(shù)求函數(shù)最大值以及對(duì)應(yīng)的值。
解:由
由得
故
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),上式取等號(hào).
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值
由內(nèi)正切函數(shù)是遞增函數(shù),
函數(shù)y也取最大值.
（21）（本小題滿分12分）
如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,點(diǎn)E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC與底面ABCD所成的角為450,AB=.
A1 B1
E
P
Q
D C
O
A B
（Ⅰ）求截面EAC的面積;
（Ⅱ）求異面直線A1B1與AC之間的距離;
（Ⅲ）求三棱錐B1-EAC的體積。
（Ⅰ）解：如圖，連結(jié)DB交AC于O，連結(jié)EO。∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC
又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。
∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角，
∴∠EOD=450。DO=
故
（Ⅱ）解：由題設(shè)ABCD- A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，
A1A⊥AC。又A1A⊥A1B1，
∴A1A是異面直線A1B1與AC間的公垂線。
∵D1B∥面EAC，且面D1BD與面EAC交線為EO，∴D1B∥EO。
又O是DB的中點(diǎn)，∴E是D1D的中點(diǎn)，D1B=2EO=2。
∴D1D=
異面直線A1B1與AC間的距離為
（Ⅲ）解：連結(jié)D1B1�！逥1D=DB=，∴BDD1B1是正方形。
連結(jié)B1D交D1B于P，交EO與Q
∵B1D⊥D1B，EO∥D1B，∴B1D⊥EO。
又AC⊥EO，AC⊥ED。∴AC⊥面BDD1B1，∴B1D⊥AC，∴B1D⊥面EAC
∴B1Q是三棱錐B1-EAC的高。
由DQ=PQ，得B1Q=
所以三棱錐B1-EAC的體積是
三．解答題：本大題共6小題;共74分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟。
右圖為一臺(tái)冷軋機(jī)的示意圖。冷軋機(jī)由若干對(duì)軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過(guò)各對(duì)軋輥逐步減薄后輸出。
（Ⅰ）輸入帶鋼的厚度為，輸出帶鋼的厚度為，若每對(duì)軋輥的減薄率不超過(guò)問(wèn)冷軋機(jī)至少需要安裝多少對(duì)軋輥？
（一對(duì)軋輥減薄率=）
（Ⅱ）已知一臺(tái)冷軋機(jī)共有4對(duì)減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長(zhǎng)均為1600mm。若第k對(duì)軋輥有缺陷，每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn)，在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上，疵點(diǎn)間距為L(zhǎng)k。為了便于檢修，請(qǐng)計(jì)算L1、L2、L3并填入下表（軋鋼過(guò)程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）
軋輥序號(hào)k
1
2
3
4
疵點(diǎn)間距Lk(單位:mm)
1600
解：（Ⅰ）厚度為的帶鋼經(jīng)過(guò)減薄率均為的n對(duì)軋輥后厚度為
，為使輸出帶鋼的厚度不超過(guò)，冷軋機(jī)的軋輥數(shù)（以對(duì)為單位）應(yīng)滿足
即對(duì)上式兩端取對(duì)數(shù)得
因此，至少需要安裝不小于的整數(shù)對(duì)軋輥。
（Ⅱ）解一：第k對(duì)軋輥出口處疵點(diǎn)間距離為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為
而在冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為
因?qū)挾认嗟龋也豢紤]損耗，由體積相等得
即由此得
L3=2000（mm）,L2=2500(mm),L1=3125(mm)
填表如下：
軋輥序號(hào)k
1
2
3
4
疵點(diǎn)間距Lk(單位:mm)
3125
2500
2000
1600
解二：第三對(duì)軋輥出口疵點(diǎn)間距為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積與冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔�，�?/p>
所以，同理：
填表如下：
軋輥序號(hào)k
1
2
3
4
疵點(diǎn)間距Lk(單位:mm)
3125
2500
2000
1600
（23）（本小題滿分14分）
已知函數(shù)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線。當(dāng)時(shí)，該圖象是斜率為的線段（其中正常數(shù)），設(shè)數(shù)列由定義。
（Ⅰ）求x1、x2和xn的表達(dá)式;
（Ⅱ）求的表達(dá)式，并寫(xiě)出其定義域;
（Ⅲ）證明：的圖象與y=x的圖象沒(méi)有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn)。
解：（Ⅰ）依題意函數(shù)的圖象是斜率為的線段，故由
又由的圖象是斜率為的線段，
故由
記由函數(shù)圖象中第n段線段的斜率為故得
由此知數(shù)列為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為
由，得
即
（Ⅱ）當(dāng)從（Ⅰ）可知y=x，即當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）可知
為求函數(shù)的定義域，須對(duì)進(jìn)行討論
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，也趨向于無(wú)窮大。
綜上，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/p>
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/p>
（Ⅲ）證一：首先證明當(dāng)，時(shí)，恒有成立。
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
(i) 由（Ⅱ）知當(dāng)n=1時(shí)，在上，
所以成立。
（ii)假設(shè)n=k時(shí)在上，恒有成立。
可得
在上，
所以也成立。
由(i)與(ii)知對(duì)所有自然數(shù)n在上都有成立
即時(shí),恒有
其次,當(dāng),仿上述證明,可知當(dāng)時(shí),恒有成立.
故的圖象與y=x的圖象沒(méi)有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn)。
證二：首先證明當(dāng)，時(shí)，恒有成立。
對(duì)任意的，存在，使，此時(shí)有
又
即有成立
其次，當(dāng),仿上述證明,可知當(dāng)時(shí),恒有成立.
故的圖象與y=x的圖象沒(méi)有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn)。
（24）（本小題滿分14分）
如圖，給出定點(diǎn)A（0）（）和直線B是直線上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C。求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與值的關(guān)系。
B
C
O A x
解：依題意，記B（-1，），
則直線OA和OB的方程分別為
設(shè)點(diǎn)C（x,y）則有，
由OC平分∠BOA，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等。根據(jù)點(diǎn)到直線所距離公式得
①
依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有
由得 ②
將②式代入①式得
整理得
若，則
若，則，∠BOA=，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）滿足上式
綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為
(i)當(dāng)時(shí)，軌跡方程化為 ③
此時(shí)，方程③表示拋物線弧段;
(ii)當(dāng)時(shí)，軌跡方程化為
④
所以，當(dāng)時(shí)，方程④表示橢圓弧段;
當(dāng)時(shí)，方程④表示雙曲線一支的弧段。
一九九九年（文科）
（1）如圖,I是全集，M、P、S是I的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是，則 （ C ）
（A）（MP）S
（B）（MP）S
（C）（MP）
（D）（MP）
（2）已知映射其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且對(duì)任意的，在B中和它對(duì)應(yīng)的元素是，則集合B中元素的個(gè)數(shù)是（ A ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（3）函數(shù)的反函數(shù)是，則等于（A） （B） （C） （D） （ A ）
（4）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，則函數(shù)上 （ C ）
（A）是增函數(shù) （B）是減函數(shù)
（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值-M
（5）若是周期為的奇函數(shù)，則可以是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（6）曲線關(guān)于 （ B ）
（A）直線軸對(duì)稱 （B）直線軸對(duì)稱
（C）點(diǎn)中心對(duì)稱 （D）點(diǎn)中心對(duì)稱
（7）若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面的高度為6cm。若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是 （ B ）
（A）cm （B）6cm （C）cm （D）cm
（8）若
的值為 （ A ）
（A）1 （B）-1 （C）0 （D）2
（9）直線截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為
（A） （B） （C） （D） （ C ）
E F
D C
A B
（10）如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF=，EF與面AC的距離為2，則多面體的體積為
（A） （B）5 （C）6 （D） （ D ）
（11）若 （ B ）
（A）（，）（B）（，0）（C）（0，）（D）（，）
（12）如果圓臺(tái)的上底面半徑為5，下底面半徑為R，中截面把圓臺(tái)分為上、下兩個(gè)圓臺(tái)，它們的側(cè)面積比為1:2，那么R= （ D ）
（A）10 （B）15 （C）20 （D）25
（13）已知兩點(diǎn)M（1，）、N（-4，-），給出下列曲線方程：
① ② ③ ④
其中與直線有交點(diǎn)的所有曲線是 （ D ）
（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④
（14）某電腦用戶計(jì)劃使用不超過(guò)500元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤(pán)。根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤(pán)至少買2盒，則不同的選購(gòu)方式共有 （ C ）
（A）5種 （B）6種 （C）7種 （D）8種
（15）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線為。若過(guò)F1且垂直于x軸的弦長(zhǎng)等于點(diǎn)F1到的距離，則橢圓的離心率是__________
答：
（16）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟。為有利于作物生長(zhǎng)，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共用______種（用數(shù)字作答）
答：12
（17）若正數(shù)滿足，則的取值范圍是_______
答：
（18）是兩個(gè)不同平面，是平面之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：
① ② ③ ④
以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：__________
答：，，或，，
（19）（本小題滿分10分）
解方程
解：設(shè)，則原方程化為
解得
因?yàn)�，所以將舍去�?/p>
由得
所以
經(jīng)檢驗(yàn)，為原方程的解。
（20）（本小題滿分12分）
數(shù)列的前n項(xiàng)和記為。已知求的值。
解：由
又由已知
于是
所以由
所以，數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列。
由此知數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列。
（21）（本小題滿分12分）
設(shè)復(fù)數(shù)求函數(shù)最大值以及對(duì)應(yīng)的值。
解:由
由得
故
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),上式取等號(hào).
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值
（22）（本小題滿分12分）
如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,點(diǎn)E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC與底面ABCD所成的角為450,AB=.
A1 B1
E
P
Q
D C
O
A B
（Ⅰ）求截面EAC的面積;
（Ⅱ）求異面直線A1B1與AC之間的距離;
（Ⅲ）求三棱錐B1-EAC的體積。
（Ⅰ）解：如圖，連結(jié)DB交AC于O，連結(jié)EO�！叩酌鍭BCD是正方形，∴DO⊥AC
又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。
∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角，
∴∠EOD=450。DO=
故
（Ⅱ）解：由題設(shè)ABCD- A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，
A1A⊥AC。又A1A⊥A1B1，
∴A1A是異面直線A1B1與AC間的公垂線。
∵D1B∥面EAC，且面D1BD與面EAC交線為EO，∴D1B∥EO。
又O是DB的中點(diǎn)，∴E是D1D的中點(diǎn)，D1B=2EO=2。
∴D1D=
異面直線A1B1與AC間的距離為
（Ⅲ）解：連結(jié)D1B1�！逥1D=DB=，∴BDD1B1是正方形。
連結(jié)B1D交D1B于P，交EO與Q
∵B1D⊥D1B，EO∥D1B，∴B1D⊥EO。
又AC⊥EO，AC⊥ED。∴AC⊥面BDD1B1，∴B1D⊥AC，∴B1D⊥面EAC
∴B1Q是三棱錐B1-EAC的高。
由DQ=PQ，得B1Q=
所以三棱錐B1-EAC的體積是
三．解答題：本大題共6小題;共74分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟。
右圖為一臺(tái)冷軋機(jī)的示意圖。冷軋機(jī)由若干對(duì)軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過(guò)各對(duì)軋輥逐步減薄后輸出。
（Ⅰ）輸入帶鋼的厚度為，輸出帶鋼的厚度為，若每對(duì)軋輥的減薄率不超過(guò)問(wèn)冷軋機(jī)至少需要安裝多少對(duì)軋輥？
（一對(duì)軋輥減薄率=）
（Ⅱ）已知一臺(tái)冷軋機(jī)共有4對(duì)減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長(zhǎng)均為1600mm。若第k對(duì)軋輥有缺陷，每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn)，在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上，疵點(diǎn)間距為L(zhǎng)k。為了便于檢修，請(qǐng)計(jì)算L1、L2、L3并填入下表（軋鋼過(guò)程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）
軋輥序號(hào)k
1
2
3
4
疵點(diǎn)間距Lk(單位:mm)
1600
解：（Ⅰ）厚度為的帶鋼經(jīng)過(guò)減薄率均為的n對(duì)軋輥后厚度為
，為使輸出帶鋼的厚度不超過(guò)，冷軋機(jī)的軋輥數(shù)（以對(duì)為單位）應(yīng)滿足
即對(duì)上式兩端取對(duì)數(shù)得
因此，至少需要安裝不小于的整數(shù)對(duì)軋輥。
（Ⅱ）解一：第k對(duì)軋輥出口處疵點(diǎn)間距離為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為
而在冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為
因?qū)挾认嗟�，且不考慮損耗，由體積相等得
即由此得
L3=2000（mm）,L2=2500(mm),L1=3125(mm)
填表如下：
軋輥序號(hào)k
1
2
3
4
疵點(diǎn)間距Lk(單位:mm)
3125
2500
2000
1600
解二：第三對(duì)軋輥出口疵點(diǎn)間距為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積與冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔�，�?/p>
所以，同理：
填表如下：
軋輥序號(hào)k
1
2
3
4
疵點(diǎn)間距Lk(單位:mm)
3125
2500
2000
1600
（24）（本小題滿分14分）
如圖，給出定點(diǎn)A（0）（）和直線B是直線上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C。求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與值的關(guān)系。
B
C
O A x
解：依題意，記B（-1，），
則直線OA和OB的方程分別為
設(shè)點(diǎn)C（x,y）則有，
由OC平分∠BOA，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等。根據(jù)點(diǎn)到直線所距離公式得
①
依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有
由得 ②
將②式代入①式得
整理得
若，則
若，則，∠BOA=，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）滿足上式
綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為
，軌跡方程化為
③
由此知，當(dāng)時(shí)，方程③表示橢圓弧段;
當(dāng)時(shí)，方程③表示雙曲線一支的弧段。
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