2007年廣東省深圳市高三年級(jí)第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理科）2007．5
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．第Ⅰ卷為第1頁(yè)至第2頁(yè)，第Ⅱ卷為第3頁(yè)至第6頁(yè)．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
第Ⅰ卷 (選擇題，共40分)
注意事項(xiàng)：
1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)、考試科目用2B鉛筆涂寫在小答題卡上．同時(shí)，用黑色鋼筆將姓名、考號(hào)、座位號(hào)填寫在模擬答題卡上．
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把模擬答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；最后，用2B鉛筆將模擬答題卡上的答案轉(zhuǎn)涂到小答題卡上，不能答在試題卷上．
3．考試結(jié)束后，將模擬答題卡和小答題卡一并交回．
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
如果
為橢圓
的半焦距，則該橢圓的準(zhǔn)線方程為
．
一．選擇題：本大題共8個(gè)小題；每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合
，則滿足
的集合
的個(gè)數(shù)是
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
為虛數(shù)單位，且
，則
的值為
A．
B．
C．
D．
3．設(shè)
，
，
，則
的大小順序是
A．
B．
C．
D．
4．在
中，
分別是
的對(duì)邊，且
，則
等于
A．
B．
C．
D．
5．已知命題
：“
”，命題
：“
”．
若命題“且”是真命題，則實(shí)數(shù)
的取值范圍為
A．
或
B．或
C．
D．
6． 已知
，
是由直線
和曲線
圍成的曲邊三角形的平面區(qū)域，若向區(qū)域
上隨機(jī)投一點(diǎn)
，則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為
A ．
B ．
C．
D．
7．在教材中，我們學(xué)過(guò)“經(jīng)過(guò)點(diǎn)
，法向量為
的平面的方程是：
”．現(xiàn)在我們給出平面
的方程是
，平面
的方程是
，則由這兩平面所成的銳二面角的余弦值是
A．
B．
C．
D．
8．已知函數(shù)
的定義域?yàn)?sub>
，部分對(duì)應(yīng)值如下表．
為的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)
的圖象如下圖所示．
若兩正數(shù)
滿足
，則
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 (非選擇題共110分)
注意事項(xiàng):
第Ⅱ卷全部是非選擇題，必須在答題卡非選擇題答題區(qū)域內(nèi)，用黑色鋼筆或簽字筆作答，不能答在試卷上，否則答案無(wú)效．
二． 填空題：本大題共7個(gè)小題，分必做題和選做題，每小題5分，滿分30分．
必做題：第9、10、11、12題為必做題．
9．已知數(shù)列
是公差不為的等差數(shù)列，
為數(shù)列的前
項(xiàng)和，
，則
=________．
10．設(shè)二項(xiàng)式
展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)和為 P，二項(xiàng)式系數(shù)之和為S，P + S = 72，則正整數(shù)=________，展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值為_(kāi)__________．
 |
12．已知拋物線
與直線
交于
兩點(diǎn)，如果在該拋物線上存在點(diǎn)
，使得
為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)
＝ ．
選做題：從第13、14、15三道題中選做兩題，三題都答的只計(jì)算前兩題的得分．
13．如圖，⊙
和⊙
交于
兩點(diǎn)，點(diǎn)在⊙上， ⊙的弦
分別與弦
、
⊙交于
、
兩點(diǎn)，若
，
，則⊙的半徑為_(kāi)__________．
14．若直線
與曲線
為參數(shù)，且
有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)
的取值范圍是__________．
15．關(guān)于的不等式
在
上恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是_______．
三．解答題：本大題6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
16．（本小題滿分12分）已知
，
，設(shè)
．
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)
，
時(shí)，求函數(shù)的最大值及最小值．
17．（本小題滿分12分）有編號(hào)為
的個(gè)學(xué)生，入坐編號(hào)為的個(gè)座位．每個(gè)學(xué)生規(guī)定坐一個(gè)座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為
，已知
時(shí)，共有
種坐法．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求隨機(jī)變量
的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．
18．（本小題滿分14分）如圖，正方形
所在的平面與平面
垂直，是
和
的交點(diǎn)，
，且
．
(Ⅰ)求證：
平面
；
(Ⅱ)求直線與平面所成的角的大�。�
(Ⅲ)求二面角
的大�。�
 |
19．
（本小題滿分14分）設(shè)是定義在
上的奇函數(shù)，且當(dāng)
時(shí)， 
．
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式；
(Ⅱ) 當(dāng)
時(shí)，求函數(shù)在
上的最大值
；
(Ⅲ)如果對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)在上恒有
，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
20．（本小題滿分14分）已知橢圓的中心為原點(diǎn)，點(diǎn)
是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線
過(guò)點(diǎn)與橢圓交于
兩點(diǎn)，且當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線
，使得在橢圓的右準(zhǔn)線上可以找到一點(diǎn)，滿足
為正三角形．如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
21．（本小題滿分14分）已知數(shù)列
滿足
，
．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式
；
（Ⅱ）設(shè)
，求數(shù)列
的前項(xiàng)和
；
（Ⅲ）設(shè)
，數(shù)列
的前項(xiàng)和為
．求證：對(duì)任意的
，
．
2007年深圳市高三年級(jí)第二次調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
說(shuō)明：
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
C
D
A
D
A
B
二、填空題：第9、10、11、12題為必做題，第13、14、15題為選做題，三題都答的只計(jì)算前兩題的得分．每小題5分(第10題前空2分，后空3分)，滿分30分．
9．
．
10．，
．
11．．
12．
．
13．．
14．
． 15．
．
三．解答題：本大題6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
16．（本小題滿分12分）已知
，設(shè)．
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的最大值及最小值．
解：（Ⅰ）
= 
……2分
= 
= 
…………………3分
= 
=
． ………………5分
∴的最小正周期
．
………………………………6分
（Ⅱ）∵ 
， ∴
．
∴當(dāng)
，即=
時(shí)，有最大值
；
………………10分
當(dāng)
，即=
時(shí)，有最小值 ．
……………12分
17．（本小題滿分12分）有編號(hào)為
的個(gè)學(xué)生，入坐編號(hào)為的個(gè)座位．每個(gè)學(xué)生規(guī)定坐一個(gè)座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為，已知時(shí)，共有種坐法．
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）求隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．
解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，有
種坐法，
……………………………2分
，即
，
，
或
（舍去）．
．
………………………………4分
（Ⅱ）
的可能取值是
，
又
， 
，
，
， ………………………………8分
的概率分布列為：
P
……………………10分
則
．
……………………12分
18．（本小題滿分14分）
如圖，正方形所在的平面與平面垂直，
是和的交點(diǎn)，，且．
(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)求直線與平面所成的角的大�。�
(Ⅲ)求二面角的大�。�
解法一：(Ⅰ)∵四邊形是正方形，
． ………………………1分
∵平面
平面，
又∵
，
平面
．……………………3分
平面，
． …………………………4分
平面． ………………5分
(Ⅱ)連結(jié)
，
平面，
是直線與平面
所成的角．
……………………………5分
設(shè)
，則
，
，
……………………………………………6分
，
．
即直線與平面所成的角為． ……………………………………………8分
(Ⅲ)過(guò)作
于
，連結(jié)
． ……………………………………………9分
平面，
．
平面
．
是二面角的平面角． ……10分
∵平面平面，
平面．
．
在
中， ，有
．
由(Ⅱ)所設(shè)可得
，
，
．
……………………………………………12分
．
．
∴二面角等于．
……………………………………………14分
解法二: ∵四邊形是正方形 ，
，
∵平面平面，
平面，
……………………………………………2分
∴可以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)平行于
的直線為軸，分別以直線
和
為
軸和
軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
．
設(shè)
，則
，
是正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，
．…………………………………4分
(Ⅰ)
，
，
，
，
………………………………………6分
平面．
……………………………………………7分
(Ⅱ) 平面，
為平面的一個(gè)法向量， ……………………………………………8分
，
． ……………………………………………9分
．
∴直線與平面所成的角為． ………………………………………10分
(Ⅲ) 設(shè)平面
的法向量為
，則
且
，
且
．
即
取
，則
， 則
． ……………………………………………12分
又∵
為平面的一個(gè)法向量，且
，
，
設(shè)二面角的平面角為
，則
，
．
∴二面角等于．
……………………………………………14分
19．（本小題滿分14分）
設(shè)是定義在
上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， ．
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式；
(Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在
上的最大值；
(Ⅲ)如果對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)在上恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解: (Ⅰ)當(dāng)
時(shí)， 
，則
．
……………………………2分
當(dāng)
時(shí)， 
．
……………………………3分
…………………………4分
(Ⅱ)當(dāng)時(shí)
．
………5分
(1)當(dāng)
，即
時(shí)
當(dāng)
時(shí)，
， 當(dāng)
時(shí)，
，
在
單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，
．
……………………………7分
(2)當(dāng)
，即
時(shí)，
，
在單調(diào)遞增．
，
……………………………9分
……………………………10分
(Ⅲ) 要使函數(shù)在上恒有，必須使在上的最大值
．
也即是對(duì)滿足的實(shí)數(shù)，的最大值要小于或等于． ………………11分
（1）當(dāng)時(shí)，
，此時(shí)在
上是增函數(shù)，
則
．
，解得
． ………①
………………………………12分
（2）當(dāng)時(shí)，
此時(shí)，在
上是增函數(shù)， 的最大值是
．
，解得
．………②
……………………………13分
由①、②得實(shí)數(shù)的取值范圍是．
……………………………14分
20．（本小題滿分14分）
已知橢圓的中心為原點(diǎn)，點(diǎn)
是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線，使得在橢圓的右準(zhǔn)線上可以找到一點(diǎn)，滿足為正三角形．如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為：
，則
．……①……1分
當(dāng)垂直于軸時(shí)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是
和
，
，則
，即
．………② …3分
由①，②消去，得
．
或
（舍去）．
當(dāng)
時(shí)，
．
因此，橢圓的方程為
．
……………………………5分
（Ⅱ）設(shè)存在滿足條件的直線．
(1)當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，由（Ⅰ）的解答可知
，焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為
，此時(shí)不滿足
．
因此，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)不滿足條件．
……………………………7分
（2）當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的斜率為
，則直線的方程為
．
由
，
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
和
，則
，
．
． ……………………9分
又設(shè)的中點(diǎn)為，則
．
當(dāng)為正三角形時(shí)，直線
的斜率為
．
，
．
…………………………11分
當(dāng)為正三角形時(shí)，
，即
＝
，
解得
，
．
…………………………13分
因此，滿足條件的直線存在，且直線的方程為
或
．……14分
21．（本小題滿分14分）已知數(shù)列
滿足，
．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅲ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：對(duì)任意的，．
解：（Ⅰ）
，
，……………3分
又
，
數(shù)列
是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．……5分
， 即
. ………………6分
（Ⅱ）
．
． ………………9分
（Ⅲ）
，
．
……………………10分
當(dāng)
時(shí)，則
．
， 對(duì)任意的，．
………………………14分
命題：喻秋生 李志敏 程武軍 審題：石永生
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