數(shù) 學(xué)（文史類）
第Ⅰ卷（選擇題共60分）
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
因?yàn)閏osA≠0,所以tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得
因?yàn)閤R,所以.
當(dāng)時，f(x)有最大值，
當(dāng)sinx=-1時，f(x)有最小值-3，
所以所求函數(shù)f(x)的值域是
（18）（本小題滿分12分）
三人獨(dú)立破譯同一份密碼.已知三人各自破譯出密碼的概率分別為且他們是否破譯出密碼互不影響.
(Ⅰ)求恰有二人破譯出密碼的概率；
(Ⅱ)“密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個大？說明理由.
解：本小題考查概率的基本知識與分類思想，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力..
記“第i個人破譯出密碼”為事件A1(i=1,2,3)，依題意有
且A1，A2，A3相互獨(dú)立.
（Ⅰ）設(shè)“恰好二人破譯出密碼”為事件B，則有
B＝A1?A2??A1??A3+?A2?A3且A1?A2?，A1??A3，?A2?A3
彼此互斥
于是P(B)=P(A1?A2?)+P（A1??A3）+P（?A2?A3）
�。�
�。�.
答：恰好二人破譯出密碼的概率為.
（Ⅱ）設(shè)“密碼被破譯”為事件C，“密碼未被破譯”為事件D.
D＝??，且，，互相獨(dú)立，則有
P（D）＝P（）?P（）?P（）＝＝.
而P（C）＝1-P（D）＝，故P（C）＞P（D）.
答：密碼被破譯的概率比密碼未被破譯的概率大.
（19）（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐P―ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD=,底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求異面直線PB與CD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求點(diǎn)A到平面PCD的距離.
解：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成角、點(diǎn)到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力和運(yùn)算能力..
解法一：
（Ⅰ）證明：在△PAD卡中PA＝PD，O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD.
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD＝BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，
所以O(shè)B∥DC.
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，
所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角.
因?yàn)锳D＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以O(shè)B＝，
在Rt△POA中，因?yàn)锳P＝，AO＝1，所以O(shè)P＝1，
在Rt△PBO中，PB＝,
cos∠PBO=,
所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為.
(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，
在Rt△POC中，PC＝，
所以PC＝CD＝DP，S△PCD=?2=.
又S△=
設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離h，
由VP-ACD=VA-PCD，
得S△ACD?OP＝S△PCD?h，
即×1×1＝××h，
解得h＝.
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
則A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），
D（0，1，0），P（0，0，1）.
所以，
，
所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為，
（Ⅲ）設(shè)平面PCD的法向量為n＝（x0,y0,x0），
由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），
＝0，所以 -x0+ x0=0,
n?＝0， -x0+ y0=0，
即x0=y0=x0,
取x0=1，得平面的一個法向量為n=(1,1,1).
又=(1,1,0).
從而點(diǎn)A到平面PCD的距離d＝
（20）（本小題滿分12分）
已知｛an｝是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點(diǎn)（）（nN*）在函數(shù)y=x2+1的圖象上.
(Ⅰ)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)若列數(shù)｛bn｝滿足b1=1,bn+1=bn+，求證：bn ?bn+2＜b2n+1.
解：本小題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基本知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，推理與運(yùn)算能力.解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以數(shù)列｛an｝是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列.
故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n從而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+???+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+???+2+1
＝=2n-1.
因?yàn)閎n?bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5?2n+4?2n
=-2n＜0,
所以bn?bn+2＜b,
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因?yàn)閎2=1,
bn?bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b
=2n+1?bn-1-2n?bn+1-2n?2n+1
＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n〈0，
所以bn-bn+2<b2n+1
(21)（本小題滿分12分）
已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)（-1，-6），且函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.
(Ⅰ)求m、n的值及函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)若a＞0，求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a-1,a+1）內(nèi)的極值.
解：（21）本小題主要考察函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，以及分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題和解決問題的能力.滿分12分.
解：（1）由函數(shù)f(x)圖象過點(diǎn)（－1，－6），得m-n=-3, ……①
由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,
則g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;
而g(x)圖象關(guān)于y軸對稱，所以－＝0，所以m=-3,
代入①得n=0.
于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).
由f′(x)>得x>2或x<0,
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，0），（2，＋∞）；
由f′(x)<0得0<x<2,
故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）.
(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),
令f′(x)＝0得x=0或x=2.
當(dāng)x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：
X
(-∞.0)
0
(0,2)
2
(2,+ ∞)
f′(x)
+
0
－
0
＋
f(x)
極大值
極小值
由此可得：
當(dāng)0<a<1時，f(x)在（a-1,a+1）內(nèi)有極大值f(O)=-2,無極小值；
當(dāng)a=1時，f(x)在（a-1,a+1）內(nèi)無極值；
當(dāng)1<a<3時，f(x)在（a-1,a+1）內(nèi)有極小值f(2)＝－6，無極大值；
當(dāng)a≥3時，f(x)在（a-1,a+1）內(nèi)無極值.
綜上得：當(dāng)0<a<1時，f(x)有極大值－2，無極小值，當(dāng)1<a<3時，f(x)有極小值－6，無極大值；當(dāng)a=1或a≥3時，f(x)無極值.
(22)（本小題滿分14分）
如圖，橢圓（a＞b＞0）的一個焦點(diǎn)為F(1,0)，且過點(diǎn)（2，0）.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l:x=4與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于點(diǎn)M.
(?)求證：點(diǎn)M恒在橢圓C上；
(?)求△AMN面積的最大值.
解：)本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、軌跡方程、不等式等基本知識，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力。
解法一：
（Ⅰ）由題設(shè)a=2,c=1,從而b2=a2-c2=3,
所以橢圓C前方程為.
(Ⅱ)(i)由題意得F(1,0),N(4,0).
設(shè)A(m,n),則B(m,-n)(n≠0),=1. ……①
AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y=0，
n(x-4)-(m-4)y=0.
x0=.
所以點(diǎn)M恒在橢圓G上.
(?)設(shè)AM的方程為x=xy+1,代入＝1得（3t2+4）y2+6ty-9=0.
設(shè)A(x1,y1),M（x2，y2），則有：y1+y2=
|y1-y2|=
令3t2+4=λ(λ≥4),則
|y1-y2|＝
因?yàn)棣恕?，0<
|y1-y2|有最大值3，此時AM過點(diǎn)F.
△AMN的面積S△AMN=
解法二：
（Ⅰ）問解法一：
（Ⅱ）（?）由題意得F(1,0),N(4,0).
設(shè)A(m,n),則B(m,-n)(n≠0), ……①
AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y=0, ……②
n(x-4)-(m-4)y=0, ……③
由②，③得：當(dāng)≠. ……④
由④代入①，得=1（y≠0）.
當(dāng)x=時，由②，③得：
解得與a≠0矛盾.
所以點(diǎn)M的軌跡方程為即點(diǎn)M恒在錐圓C上.
（Ⅱ）同解法一.
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