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練習冊

練習冊
試題

大連市2009年高三年級第一次模擬考試

數學試題（理科）

說明：

1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分。考試時間120分鐘。

2．將I卷和II卷的答案都寫在答題紙上，在試卷上答題無效。

參考公式：

半徑為R的球的體積公式：；

用最小二乘法求線性回歸方程系數公式：

第Ⅰ卷（選擇題）

一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．設全集為（）

A． B． C． D．

2．采用系統(tǒng)抽樣方法從編號為1～50的50名同學中選取5名同學做一個問卷調查，則確定所選取的5個同學的編號可能是（）

A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43

C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，22

3．已知等比數列的公比為2，且，則的值為

A．10 B．15 C．20 D．25

4．二項式展開的第三項的虛部為（）

A．45 B．-45 C．0 D．

5．若的值為（）

A． B． C． D．

6．在平面直角坐標系中，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是4，動點（x，y）在該區(qū)域內，則的最小值為（）

A．6 B．-2 C．0 D．-4

7．已知正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁如圖所示，則直線B₁D和CD₁所成的角為（）

A．60 B．45° C．30° D．90°

A．一個點

B．兩個點

C．線段

D．直線

9．若橢圓的焦點與雙曲線的焦點恰好是一個正方形的四個頂點，則拋物線的焦點坐標為（）

A． B． C． D．

10．用四種不同顏色給一個三棱錐的六條棱涂色，其中該三棱錐的六條棱互不相等，只有異面的兩條棱才能涂同色，且四種顏色可以不都用，則不同的涂色方案有（）

A．48種 B．72種 C．96種 D．120種

A．

B．

C．

D．

12．已知函數處的切線為，則直線、曲線以及直線所圍成的區(qū)域的面積為（）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）

二、填空題: 本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．

13．已知°，則的度數為．

為．

15．已知x、y的取值如下表：

x

2

3

4

5

y

2.2

3.8

5.5

6.5

從散點圖分析，y與x線性相關，且回歸方程

為為．

16．右圖是求數列前10項中最大項的程序框圖，

①，②處分別應該填上， .

三、解答題:本大題共6題,共70分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

17．（本小題滿分12分）

一臺儀器每啟動一次出現一個6位的二進制數恒為1，之間出現1或0是相互獨立的，且，出現0的概率為，當啟動儀器一次時。

（I）求的概率；

（II）求X的期望。

[注：]

18．（本小題滿分12分）

已知三棱錐A―BCD及其三視圖如圖所示。

（I）若平面DEF；

（Ⅱ）求二面角B―AC―D的大小。

19．（本小題滿分12分）

平面內動點

（Ⅰ）求點M的軌跡E的方程；

（Ⅱ）設直線：分別交x、y軸于點A、B，交曲線E于點C、D，且

①求k的值；

②若點，求△NCD面積取得最大時直線的方程.

20．（本小題滿分12分）

已知兩數列且

（I）求證：

（II）求證：數列

21．（本小題滿分12分）

已知函數，函數在定義域內是增函數，且義域內存在零點（的導函數）。

（I）求a的值；

（II）設的圖象上兩點，，試比較的大小，并說明理由。

請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。

22．（本小題滿分10分）

選修4-1：幾何證明選講

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（I）求證：EF//BC；

（II）求證：DF²=AF?BE。

23．（本小題滿分10分）

選修4-4：坐標系與參數方程

直線（極軸與x軸的非負半軸重合，且單位長度相同）。

（I）求圓心C到直線的距離；

（II）若直線被圓C截的弦長為的值。

24．（本小題滿分10分）

選修4-5：不等式選講

設函數

求證：

一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

B

A

C

A

B

D

B

D

C

A

C

二、填空題

13．30° 14． 15．-0.61 16．

三、解答題

17．解：（I）

即中出現3個1，2個0 2分

所以 6分

（II）（法一）設Y=X-1，

由題知 9分

所以 12分

（法二）X的分布列如下：

X

1

2

3

4

P（X）

X

5

6

P（X）

……10服

所以…………12分

18．解：（I）由三視圖可得，三棱錐A―BCD中

都等于90°，

每個面都是直角三角形；

可得面ADB，所以……2分

又，所以面ABC，

所以DEAC， 4分

又DFAC，所以AC面DEF。 6分

（II）方法一：由（I）知為二面角B―AC―D的平面角， 9分

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12分

方法二：過B作CD于O，

過O作OMAC于M，連結BM，

因為AD面BDC，所以ADC面BDC。

所以BO面ADC，

由三垂線定理可得為二面角B―AC―D的平面角， 9分

可求得

所以，

所以 12分

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方法三：如圖，以DB為x軸，

過D作BC的不行線這y軸，DA為z軸建立空間直角坐標系。

所以 8分

設面DAC的一個法向量為，

則

則

設面BAC的一個法向量為，

則

則 10分

所以，

因為二面角B―AC―D為銳角，

所以二面角B―AC―D的大小為 12分

19．解：（Ⅰ）設動點M的坐標為

，

即………………2分

（Ⅱ）①在中分別令

……………3分

設，

由

………………4分

，

所以

即

………………6分

②

……………7分

點N到CD的距離……………8分

…………………9分

當且僅當時等號成立，

即，此時，

所以直線的方程為…………………12分

20．證明：（I）先證

法一：

法二：①；

②假設時命題成立，

即

所以時命題也成立。

綜合①②可得 2分

再證

①；

②假設時命題成立，即，

則

所以時命題也成立。

綜合①②可得 6分

（II）

故數列單調遞減 9分

又

即 12分

21．解：（I）因為，所以

方法一： 2分

因為上是增函數，

所以上恒成立，

即上恒成立，

所以 4分

又存在正零點，

故。

即

所以 6分

方法二： 2分

因為上是增函數，

所以上恒成立，

若，

于是恒成立。

又存在正零點，

故

與

即矛盾，

所以 4分

由恒成立，

又存在正零點，

故

所以即 6分

（II）結論理由如下：

由（I），

所以 7分

方法一：

8分

令

上，

所以上為增函數 10分

當

即

從而得到證明。 12分

方法二：

，

8分

令，

作函數

令

當 10分

，

所以當，

即

所以 12分

22．證明：（I）⊙O切BC于D，

2分

的角平分線，

又

4分

（II）連結DE，

⊙O切BC于D，

5分

由（I）可得

又⊙O內接四邊形AEDF，

∽

分

又

10分

23．解：（I）把化為普通方程為

2分

把化為直角坐標系中的方程為

4分

圓心到直線的距離為 6分

（II）由已知 8分

10分

24．證明：法一：

5分

10

法二：

5分

10分

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