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				若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間D上的任意兩個值總有以下不等式成立.則稱函數(shù)為區(qū)間D上的凸函數(shù) .			【查看更多】
			


		
           
          


		
          
		
          題目列表(包括答案和解析)
          

		
		
          

          


          
	
          				
          
									
          若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間D上的任意兩個值、總有以下不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的凸函數(shù) . 
            
          （1）證明：定義在R上的二次函數(shù)是凸函數(shù)；
            
          （2）設，并且時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍，并判斷函數(shù)能否成為上的凸函數(shù)；
            
          （3）定義在整數(shù)集Z上的函數(shù)滿足：①對任意的，；②，. 試求的解析式；并判斷所求的函數(shù)是不是R上的凸函數(shù)說明理由.
          

			
          
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           若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于D上任意個值總滿足,則稱為D上的凸函數(shù).現(xiàn)已知在上是凸函數(shù)，則三角形ABC中，的最大值為
（   ）
          


          A.          B.
         C.
           D.

          


           
          

			
          
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          若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x）對于D上的任意n個值x1，x2，…，xn總滿足，
          f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
          n
          ≤f(
          x1+x2+x3+…+xn
          n
          )          則稱f（x）為D上的凸函數(shù)，現(xiàn)已知f（x）=cosx在（0，
          π
          2
          ）上是凸函數(shù)，則在銳角△ABC中，cosA+cosB+cosC的最大值是 

           
          ．
          

			
          
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          若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上的任意兩個值x1、x2總有以下不等式
          f(x1)+f(x2)
          2
          ≤f（
          x1+x2
          2
          ）成立，則稱函數(shù)y=f（x）為區(qū)間D上的凸函數(shù)．
          （1）證明：定義在R上的二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函數(shù)；
          （2）設f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]時，f（x）≤1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍，并判斷函數(shù)
          f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0）能否成為R上的凸函數(shù)；
          （3）定義在整數(shù)集Z上的函數(shù)f（x）滿足：①對任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．
          試求f（x）的解析式；并判斷所求的函數(shù)f（x）是不是R上的凸函數(shù)說明理由．
          

			
          
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          若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上任意x1，x2都有不等式
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]≤f(
          x1+x2
          2
          )          成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的凸函數(shù)．
          （I）證明：定義在R上的二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函數(shù)；
          （II）對（I）的函數(shù)y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值時函數(shù)y=f（x）的解析式；
          （III）定義在R上的任意凸函數(shù)y=f（x），當q，p，m，n∈N*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，證明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．
          

			
          
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          一．選擇題：
          題號
          1
          2
          3
          4
          5
          6
          7
          8
          答案
          C
          A
          C
          B
          B
          A
          B
          D
          二．填空題：
          9．6、30、10；                
10．?5；              
11．；
          12．?250；                    
13．；             
14．③④
          三．解答題：
          15．解： ；  ………5分
          方程有非正實數(shù)根
            
          綜上： ……………………12分16．解:(I)設袋中原有個白球,由題意知
          可得或(舍去) 
          答：袋中原有3個白球.
。。。。。。。。4分
          (II)由題意,的可能取值為1,2,3,4,5
            
          所以的分布列為:
          1
          2
          3
          4
          5
          。。。。。。。。。9分
          (III)因為甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,記”甲取到白球”為事件,則
          答：甲取到白球的概率為.。。。。。。。。13分
          17．解：（1）由＝.＝，∴＝1；。。。。。。。。。4分
          （2）任取、∈（1，＋∞），且設＜，則：
          －＝＞0，
          ∴＝在（1，＋∞）上是單調遞減函數(shù)；。。。。。。。。。8分
          （3）當直線＝（∈R）與的圖象無公共點時，＝1，
          ∴＜2＋＝4＝，｜－2｜＋＞2，
          得：＞或＜．。。。。。。。。13分
          18．（Ⅰ）證明：∵底面，底面，　∴
          　　　又∵且平面，平面，，
          　　　　∴平面；３分
          （Ⅱ）解：∵點分別是的中點，
          ∴，由（Ⅰ）知平面，
          ∴平面，
          ∴，，
          ∴為二面角的平面角，
          ∵底面，∴與底面所成的角即為，
          ∴＝，∵為直角三角形斜邊的中點，
          ∴為等腰三角形，且，∴；
          （Ⅲ）過點作交于點，∵底面,
          　　　∴底面,為直線在底面上的射影，
          　　　要，由三垂線定理的逆定理有要 ，
          　設，則由得，
          　又∴在直角三角形中，，
          ∴，
          ∵　∴，，
          在直角三角形中，，
          　，即時，．
          （Ⅲ）以點為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，設，則，，設，則
          則，，, 
          ，時時，.
           
           
          19  證明：（1）對任意x1, x2∈R, 當 a0, 
          有 =                        
=……（3分）
          ∴當時，，即
            當時，函數(shù)f(x)是凸函數(shù).   ……（4分）
           （2） 當x=0時, 對于a∈R，有f(x)≤1恒成立；當x∈(0, 1]時, 要f(x)≤1恒成立
          即， ∴ 恒成立，∵ x∈(0, 1], ∴ ≥1, 當=1時, 取到最小值為0，∴ a≤0, 又a≠0,∴ a的取值范圍是.
          由此可知，滿足條件的實數(shù)a的取值恒為負數(shù)，由（1）可知函數(shù)f(x)是凸函數(shù)………10分
          （3）令則，∵，∴，……………..(11)分
          令，則，故； 
          若，則 
          ；，……………..(12)分
          若，則 ∴；∴時，.
          綜上所述，對任意的，都有；……………..(13)分
          所以，不是R上的凸函數(shù). ……………..(14)分
          對任意，有，
          所以，不是上的凸函數(shù). ……………..(14)分
          20. 解：（1）設數(shù)列的前項和為，則
          ……….4分
          （2）為偶數(shù)時，
          為奇數(shù)時，
          ………9分
          （3）方法1、因為所以
          當，時，，時
          又由，兩式相減得
           所以若，則有………..14分
          方法2、由，兩式相減得
          ………..11分
          所以要證明，只要證明
          或①由：
          所以…………………14分
          或②由：
          …………………14分
          數(shù)學歸納法：①當
          當
          ②當
          當
          綜上①②知若，則有.
          所以，若，則有.。。。。。。。。。14分
           
           
          		
          
	
          
	
          
		
          


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