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已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，點(diǎn)P(x₁，y₁)，Q(x₁，-y₁)是雙曲線上不同的兩個(gè)動點(diǎn)，
(Ⅰ)求直線A₁P與A₂Q交點(diǎn)的軌跡E的方程；
(Ⅱ)若過點(diǎn)H(0，h)(h＞1)的兩條直線l₁和l₂與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l₁⊥l₂，求h的值。

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20.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的動直線與雙曲線相交于兩點(diǎn).

（I）若動點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；

（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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說明：1．參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點(diǎn)和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．

      2．對解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．

4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運(yùn)算．共8小題，每小題5分，滿分40分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

B

C

B

A

D

D

二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13~15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計(jì)算前二題得分．第12題第1個(gè)空3分，第2個(gè)空2分.

9．2          10．79         11．0 或 2       12．16，

13．1         14．3          15．6

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力）

解：（1）

                 ．                

∵，

∴函數(shù)的值域?yàn)?sub>．                                     

（2）∵，，∴，．

∵都為銳角，∴，．

∴                    

            ．

∴的值為．                                      

17．（本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的表面積與體積等基本知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

解：（1）設(shè),∵幾何體的體積為，

∴，                      

即，

即，解得．

∴的長為4．                                           

（2）在線段上存在點(diǎn)，使直線與垂直．     

以下給出兩種證明方法：

方法1：過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作 

交于點(diǎn)．

∵，，，

∴平面．

∵平面，∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴．      

在矩形中，∵∽，

∴，即，∴．

∵∽，∴，即，∴．

在中，∵，∴．

由余弦定理，得

．

∴在線段上存在點(diǎn),使直線與垂直，且線段的長為．

方法2：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，由已知條件與（1）可知，，，，  

假設(shè)在線段上存在點(diǎn)≤≤2，，0≤≤

使直線與垂直，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．

由∽，得，

∴．

∴．

∴，．

∵，∴，

即，∴．       

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，在線段上．

∵，∴．

∴在線段上存在點(diǎn)，使直線與垂直，且線段的長為．

18．（本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

解：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，

若，，成等差數(shù)列，

則．

∴．

∵，，∴．

解得或．             

當(dāng)時(shí)，∵，，，         

∴．

∴當(dāng)時(shí)，，，不成等差數(shù)列．

當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列．下面給出兩種證明方法．

證法1：∵

                            ，

∴．

∴當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列．

證法2：∵，          

又

              ， 

∴．

∴當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列． 

19．（本小題主要考查等可能事件、互斥事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

解：（1）∵一次摸球從個(gè)球中任選兩個(gè)，有種選法，                         

任何一個(gè)球被選出都是等可能的，其中兩球顏色相同有種選法，

∴一次摸球中獎的概率．             

（2）若，則一次摸球中獎的概率，                  

三次摸球是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，三次摸球恰有一次中獎的概率是

．                                    

（3）設(shè)一次摸球中獎的概率為，則三次摸球恰有一次中獎的概率為，，

∵，

∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．              

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值．

∵≥，

解得．

故當(dāng)時(shí)，三次摸球恰有一次中獎的概率最大．                 

20．（本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

（1）解法1：∵，其定義域?yàn)?sub>，  

∴．                

∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即．                                         

∵，∴．                                               

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，

∴．　                                            

解法2：∵，其定義域?yàn)?sub>，

∴．               

令，即，整理，得．

∵，

∴的兩個(gè)實(shí)根（舍去），，

當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

―

0

＋

極小值

依題意，，即，

∵，∴．                           

（2）解：對任意的都有≥成立等價(jià)于對任意的都有≥．                       

當(dāng)［1，］時(shí)，