題目列表(包括答案和解析)
向量a = (1,2)，b = (x,1)，c = a + b，d = a - b，若c//d，則實數x的值等于
sinθ,1),其中θ∈(0,
).(1)求a·b-c·d的取值范圍；
(2)若函數f(x)=|x-1|,判斷f(a·b)與f(c·d)的大小，并說明理由.
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| A．{x|x＞-6} | B．{x|x＜-6} | ||
| C．{x|x≥-6} | D．{x|x＞-6且x≠
|
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
A
C
B
A
C
B
C
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.其中12題的第一個空3分，第二
個空2分.
11.. 12.. 13.. 14..
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程.
15．解：(1) 根據題意，可知，，即. ……………………………2分
于是. ………………………………………………………………………………………………3分
將點代入，得
即. …………………………………………………………5分
滿足的最小正數. ……………………………………………………………7分
從而所求的函數解析式是. ……………………………………………8分
(2)略.（振幅變換1分.周期變換、相位變換做對一個2分，全對3分） ……12分
16．解：顯然是隨機變量.
(1).. …………………………………6分
(2)由的期望為，得
，即. …………………9分
根據表中數據，得，即. ………………………………………………11分
聯立解得. …………………………………………………………………………………………12分
17.解：(1)連結PQ，AQ.
∵△PCD為正三角形， ∴PQ⊥CD.
∵底面ABCD是∠ADC的菱形，∴AQ⊥CD.
∴CD⊥平面PAQ. ………………………………………………………………………………………………4分
∴PA⊥CD.
(2)設平面CDM交PA于N，∵CD//AB， ∴CD//平面PAB. ∴CD//MN.
由于M為PB的中點，∴N為PA的中點.
又PD=CD=AD，∴DN⊥PA.
由(1)可知PA⊥CD，
∴PA⊥平面CDM. ………………………………………………………………………………………………8分
∴平面CDM⊥平面PAB.
在RtDPMA中，AM=PM=，
∴AP=，∴AN=，sinÐAQN==.
∴ÐAQN =45°. …………………………………………………………………………………………………14分
(2)另解（用空間向量解）：
由(1)可知PQ⊥CD，AQ⊥CD.
又由側面PDC⊥底面ABCD，得PQ⊥AQ.
因此可以如圖建立空間直角坐標系. ………………………………………………………6分
易知P(0 , 0 ,)、A(, 0 , 0)、B(, 2 , 0)、
C（0 , 1 , 0）、D（0 , -1 , 0）. ………………………………………………………………………………7分
①由=（, 0 , -），=（0 , -2 , 0），得×=0.
∴PA⊥CD. ……………………………………………………………………………………………………………9分
∴PA⊥CM . …………………………………………………………………………………………………………10分
∴PA⊥平面CDM，即平面CDM⊥平面PAB.
從而就是平面CDM的法向量. ………………………………………………………………………12分
設AQ與平面所成的角為q ，
則sinq =|cos<,>|=.
∴AQ與平面所成的角為45°. ……………………………………………………………………………14分
18．解：(1)根據題意，有解，
∴即. ……………………………………………………………………………3分
(2)若函數可以在和時取得極值，
則有兩個解和，且滿足.
易得. ………………………………………………………………………………………………6分
(3)由(2)，得. ………………………………………………………………7分
根據題意，()恒成立. ……………………………………………9分
∵函數（）在時有極大值（用求導的方法），
且在端點處的值為.
∴函數（）的最大值為. …………………………13分
所以. …………………………………………………………………………………………………………14分
19．解：(1)由于橢圓過點，
故. ………………………………………………………………………………………………………………1分
,橫坐標適合方程
解得(即)．………………………………………………………4分
即,橫坐標是(即).……………………………………5分
(2)根據題意，可設拋物線方程為． …………………6分
∵，∴．………………………………………………………………7分
把和（等同于,坐標（，））代入式拋物線方
程，得. ……………………………………9分
令．……………………………………10分
則內有根（并且是單調遞增函數），
∴………………………………………………………………13分
解得． …………………………………………………………………………………………14分
(注：未得到，后續(xù)解答若過程正確可酌情給一半分)
20．解：（1）∵f1(0)=2，a1==，fn+1(0)= f1［fn(0)］=, …………2分
∴an+1==== -= -an. ……………4分
∴數列｛an｝是首項為,公比為-的等比數列，∴an=()n-1. ………………5分
（2）∵T2 n = a1+2a 2+3a 3+…+(2n-1)a 2 n-1+2na 2 n，
∴T2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+…+(-)(2n-1)a2 n－1+2na2 n
= a 2+2a 3+…+(2n－1)a2 n－na2 n.
兩式相減，得T2 n= a1+a2+a 3+…+a2 n+na2 n. ……………………………………………………7分
∴T2n =+n×(-)2n-1=-(-)2n+(-)2n-1.
T2n =-(-)2n+(-)2n-1=(1-). …………………………………………………9分
∴9T2n=1-.
又Qn=1-， ……………………………………………………………………………………………10分
當n=1時，22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2 n＜Q n； ……………………………………………………11分
當n=2時，22 n=16,(2n+1)2=25,∴9T2 n＜Qn； …………………………………………………12分
當n≥3時，，
∴9T2 n＞Q n. …………………………………………………………………………………………………………14分
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