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（本小題滿分14分）

某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的物理成績（成績均為整數(shù)且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段，…后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：

（1）求出物理成績低于50分的學(xué)生人數(shù)；

（2）估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率（60分及以上為及格）；

（3）從物理成績不及格的學(xué)生中選兩人，求他們成績至少有一個不低于50分的概率.

 

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（本小題滿分14分）

某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的物理成績（成績均為整數(shù)且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段，…后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：

（1）求出物理成績低于50分的學(xué)生人數(shù)；

（2）估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率（60分及以上為及格）；

（3）從物理成績不及格的學(xué)生中選兩人，求他們成績至少有一個不低于50分的概率.

 

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（本小題滿分14分）
某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的物理成績（成績均為整數(shù)且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段，…后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題
（1）求出物理成績低于50分的學(xué)生人數(shù)
（2）估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率（60分及以上為及格）
（3）從物理成績不及格的學(xué)生中選兩人，求他們成績至少有一個不低于50分的概率.
 

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一、填空題：（每小題５分，共７０分）

1．2     　 2． 1+2i       3．π     　　　4． 9    　 　5．充分不必要

6．（s,t）　　7．　  8． 　　　9.  　　　10.

11. 　　　12.  4    　　 13. 　　　14①③④

二、解答題：（共９０分）

15、（本小題滿分14分）

解： （Ⅰ）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1,故低于50分的頻率為：

………………………………3分

所以低于50分的人數(shù)為（人）………………………………………….5分

（Ⅱ）依題意，成績60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），

頻率和為

所以，抽樣學(xué)生成績的合格率是%……………………………………………………8分.

于是，可以估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率約為%……………………………………9分.

（Ⅲ）“成績低于50分”及“[50,60)”的人數(shù)分別是6,9。所以從成績不及格的學(xué)生中選兩人，他們成績至少有一個不低于50分的概率為：

              ……………………………………………………14分

16．（本小題滿分14分）

解：

（Ⅰ）當(dāng)時，    ………………………………3分

當(dāng)時，是增函數(shù)，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.   ……………7分

（Ⅱ）由得，

因?yàn)?sub> ，所以當(dāng)時，取最小值3，即
當(dāng)時，取最大值4，即
將代入（1）式得.        ………………………………14分

17．（本小題滿分14分）

（Ⅰ）證明：側(cè)面，

側(cè)面，，

………3分

在中，，

則有， 

，，           ………………………………………6分

又平面．        ……………………………………7分

（Ⅱ）證明：連、，連交于，

，，四邊形是平行四邊形，……………10分

                                       ………………………11分

又平面，平面，

平面．                               ………………………14分

18．（本小題滿分1６分）

解：（I）為圓周的點(diǎn)到直線的距離為

設(shè)的方程為的方程為…5分

（II）設(shè)橢圓方程為，半焦距為c，則橢圓與圓O恰有兩個不同的公共點(diǎn)，則或                     ………………………………7分

當(dāng)時，所求橢圓方程為；當(dāng)時，

所求橢圓方程為                      ………………………………1１分

（III）設(shè)切點(diǎn)為N，則由題意得，在中，，則，

N點(diǎn)的坐標(biāo)為，……………………1２分

若橢圓為其焦點(diǎn)F₁,F₂

分別為點(diǎn)A,B故，

若橢圓為，其焦點(diǎn)為,

此時　　　　　　　　　　………………………………1６分

19.（本小題滿分1６分）

解：（1）為等差數(shù)列，∵，又，

∴ ，是方程的兩個根

又公差，∴，∴， ……………………………      2分

∴    ∴   ∴………………………………  4分

（2）由(1)知， …………………………………    5分

∴

∴，， …………………………………………  7分

∵是等差數(shù)列，∴，∴ …………………………  8分

∴（舍去） ……………………………………………………… 9分

（3）由(2)得 …………………………………………………… 11分

  ，時取等號 … 13分

，時取等號15分

(1)、(2)式中等號不可能同時取到，所以 ………………… 16分

20. (本小題滿分16分)

解（I）由題意：

∴a=2                ……………………………………………  2分

而所以h(x)在上為增函數(shù)，h(x)在上為增函數(shù)。…………       4分

（II）

欲證：只需證：，即證：

記

∴

∴當(dāng)x>1時，為增函數(shù)……………………………….9分

即

∴結(jié)論成立          ………………………………………………………………10分

（III）由 （1）知：

∴對應(yīng)表達(dá)式為

∴問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)

即求方程：

即：

設(shè)

∴當(dāng)時，為減函數(shù).

當(dāng)時，為增函數(shù).

而的圖象開口向下的拋物線

∴與的大致圖象如圖：

∴與的交點(diǎn)個數(shù)為2個.即與的交點(diǎn)個數(shù)為2個. …………………………………16分

江蘇省高郵中學(xué)2009屆高三第一學(xué)期期末模擬考試

數(shù)學(xué)試卷

Ⅱ卷（加試題部分）參考答案

1.解： ，………………………………………………………  5分

圓在的作用下的新曲線的方程為 ……10分

2．已知橢圓的長軸長為6，焦距,過橢圓左焦點(diǎn)F₁作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M、N，設(shè),當(dāng)α為何值時，MN與橢圓短軸長相等？

解：以橢圓的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)長軸所在直線為

極軸建立極坐標(biāo)系（如圖）

這里:a=3,c=,

………………………2分

所以橢圓的極坐標(biāo)方程為：

………………………４分

設(shè)M點(diǎn)的極坐標(biāo)為，N點(diǎn)的極坐標(biāo)為，………………５分

解法二：設(shè)橢圓的方程為，其左焦點(diǎn)為，直線MN的參數(shù)方程為：

，           ………………４分

將此參數(shù)方程代人橢圓方程并整理得：

，設(shè)M、N對應(yīng)的參數(shù)分別為，則

2解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．

 ……………………2分

cos<>． 　          ………………………………4分

由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是．………………5分

（2），，設(shè)平面ABE的法向量為，

則由，，得

取n＝（1，2，2），

平面BEC的一個法向量為n₂＝（0，0，1），

　………………………………7分

．

　    …………………………………9分

由于二面角A－BE－C的平面角是n₁與n₂的夾角的補(bǔ)角，其余弦值是－．…… 10分

4．解：（１）記＂一次取出的３張卡片上的數(shù)字互不相同的事件＂為Ａ，

　      則　　………………………………………………２分

（２）由題意有可能的取值為：２，３，４，５

 　………５分

所以隨機(jī)變量的概率分布為：

２

３

４

５

Ｐ

　所以的數(shù)學(xué)期望為Ｅ＝＋＋＋