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已知函數(shù)f(x)=a(2cos²+sinx)+b.

(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)當(dāng)a＜0時,函數(shù)f(x)的值域是［3,4］,求a+b的值.

已知函數(shù)f(x)＝alnx－x²＋1.

(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為4x－y＋b＝0，求實(shí)數(shù)a和b的值；

(2)若a<0，且對任意x₁、x₂∈(0，＋∞)，都|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|，求a的取值范圍．

【解析】第一問中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

第二問中，利用當(dāng)a<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

不妨設(shè)0<x₁≤x₂，則|f(x₁)－f(x₂)|＝f(x₁)－f(x₂)，|x₁－x₂|＝x₂－x₁，

∴|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|等價于f(x₁)－f(x₂)≥x₂－x₁，

即f(x₁)＋x₁≥f(x₂)＋x₂，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的知識來解得。

(1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

(2)當(dāng)a<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

不妨設(shè)0<x₁≤x₂，則|f(x₁)－f(x₂)|＝f(x₁)－f(x₂)，|x₁－x₂|＝x₂－x₁，

∴|f(x₁)－f(x₂)|≥|x₁－x₂|等價于f(x₁)－f(x₂)≥x₂－x₁，即f(x₁)＋x₁≥f(x₂)＋x₂，

令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x²＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，

∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

∴－2x²＋x＋a≤0在x>0時恒成立，

∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

∴a的取值范圍是

 

已知x∈R,向量=(acos²x,1),=(2,asin2x-a),f(x)=·,且a≠0.

(1)求函數(shù)f(x)解析式,并求當(dāng)a＞0時函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;

(2)當(dāng)x∈［0,］時,f(x)的最大值為5,求a的值.

已知函數(shù)f(x)=ln(x-2),其中a是不等于0的常數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)a＞0時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若f(x)在x₀處取得極值,且x₀［e+2,e²+2］,而f(x)≥0在［e+2,e²+2］上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

設(shè)函數(shù)，給出下述命題：

①f (x)有最小值；     ②當(dāng)a＝0時，f (x)的值域為R；        ③f (x)有可能是偶函數(shù)；

④若f (x)在區(qū)間[2,＋)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－4,＋)；

其中正確命題的序號為_____▲______；