題目列表(包括答案和解析)
的中點(diǎn)
到平面
的距離為
，點(diǎn)
到平面的距離為
，則點(diǎn)
到平面的距離為_________
。若
的中點(diǎn)
到平面
的距離為
，點(diǎn)
到平面的距離為
，則點(diǎn)
到平面 的距離為_(kāi)_______
。
點(diǎn)
在直線
上，若存在過(guò)的直線交拋物線
于
兩點(diǎn)，且
，則稱(chēng)點(diǎn)為“ 點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是 （ ）
A．直線
上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)”
B．直線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)”
C．直線上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)” 
D．直線上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)不是所有的點(diǎn)）是“點(diǎn)”[來(lái)源:學(xué)�？啤＞W(wǎng)]
.點(diǎn)
在正方體
的面對(duì)角線
上運(yùn)動(dòng)，
|
（1）
；
（2）
平面
；
（3）三棱錐
的體積隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化。
其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
（10分）
中山市的一家報(bào)刊攤點(diǎn)，從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)《中山日?qǐng)?bào)》的價(jià)格是每份0.60元，賣(mài)出的價(jià)格是每份1元，賣(mài)不掉的報(bào)紙可以以每份0.1元的價(jià)格退回報(bào)社。在一個(gè)月（以30天計(jì)算）里，有20天每天可賣(mài)出400份，其余10天每天只能賣(mài)出250份，但每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)的份數(shù)必須相同，這個(gè)推主每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)多少份，才能使每月所獲的利潤(rùn)最大？并計(jì)算他一個(gè)月最多可賺得多少元？
1．C 2．A 3．A 4．D 5. D 6．B 7. B 8. A 9. B 10．D
11. 
12. 2 13. 
14. 
15. 
16．解：（1）∵
，∴
，
∵
，∴
, 
即
邊的長(zhǎng)度為
。
（2）由
，得
…………①
，即
…………②
由①②得
，由正弦定理
，∴
，即證。
17． 解：（1）∵函數(shù)
的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為
要使在區(qū)間
上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)
且
。
依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果為
，即
共15個(gè)整點(diǎn)。
所求事件為
，即
共5個(gè)整點(diǎn)，∴所求事件
的概率為
。
（2）隨機(jī)變量
的取值有：2，3，4，5，6。的隨機(jī)分布列為：
2
3
4
5
6
隨機(jī)變量的期望
。
18．解法一：（1）易求
，從而
，由三垂線定理知：
。
（2）法一：易求
由勾股定理知
，設(shè)點(diǎn)
在面
內(nèi)的射影為
，過(guò)作
于
，連結(jié)
，則
為二面角
的平面角。在
中由面積法易求
，由體積法求得點(diǎn)到面的距離是
，所以
，所以求二面角的大小為
。
法二：易求由勾股定理知，過(guò)作于，又過(guò)作
交
于
，連結(jié)
。則易證
為二面角的平面角。在中由面積法易求，從而
于是
，所以
，在
中由余弦定理求得
。再在
中由余弦定理求得
。最后在
中由余弦定理求得
，所以求二面角的大小為
。
（3）設(shè)AC與BD交于O，則OF//CM，所以CM//平面FBD，當(dāng)P點(diǎn)在M或C時(shí)，三棱錐P―BFD的體積的最小。
。
解法二：空間向量解法，略。
19.解：（1）
當(dāng)
時(shí)，
當(dāng)
時(shí)，
此時(shí)函數(shù)
遞減；當(dāng)
時(shí)，
此時(shí)函數(shù)遞增；
當(dāng)時(shí)，取極小值，其極小值為0。
（2）由（1）可知函數(shù)
和
的圖像在處有公共點(diǎn)，因此若存在和的分界直線，則該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)。設(shè)分界直線的斜率為
則直線方程為
即
由
可得
當(dāng)
時(shí)恒成立
由
得
。
下面證明
當(dāng)
時(shí)恒成立。
令
則
當(dāng)時(shí)，
。當(dāng)時(shí)，
此時(shí)函數(shù)
遞增；當(dāng)時(shí)，
此時(shí)函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，取極大值，其極大值為0。
從而
即
恒成立。
函數(shù)和存在唯一的分界直線
。
20．解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
，則：
，從而：
，故
,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
。
（2）設(shè)
，則圓
方程為
,與圓
聯(lián)立消去
得
的方程為
，過(guò)定點(diǎn)
。
（3）將
與橢圓方程聯(lián)立成方程組消去
得：
,設(shè)
，則
。
，
所以
。
故存在定點(diǎn)
，使
恒為定值
。
21．解：（1）法一：數(shù)學(xué)歸納法；
法二：
所以
為首項(xiàng)為
公比為2的等比數(shù)列，
，即證。
法三：，兩邊同除以
，轉(zhuǎn)化為疊加法求數(shù)列通項(xiàng)類(lèi)型。
（2）法一：容易證明
單調(diào)遞增，
。由函數(shù)
割線斜率與中點(diǎn)切線斜率的關(guān)系想到先證
，即證
，即證
。令
下證
。事實(shí)上，構(gòu)造函數(shù)
，則
，
，所以
在
上單調(diào)遞增，故
，則
，即證
。
于是由有
，
（因?yàn)?sub>
）。
法二：要證
，即證
，聯(lián)想到熟悉的不等式（證明如法一）。令
，則
，即證
，下同方法一。
法三：聯(lián)想到熟悉的不等式
（證略）。令，則
，即證
而
，但驗(yàn)算當(dāng)
時(shí)
不成立。故單獨(dú)驗(yàn)證
時(shí)原不等式成立，經(jīng)驗(yàn)證成立。下用數(shù)學(xué)歸納法證
成立。
由，則
，作差有
。
①當(dāng)
時(shí)，
成立。
②假設(shè)
時(shí)，
，則
當(dāng)
時(shí)，
，
下證
，顯然。所以，命題對(duì)時(shí)成立。綜上①②即證。
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