如圖1，有一塊30°、60°、90°的三角板所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A、B、C，斜邊AB為4個(gè)單位長(zhǎng)度，且A、B兩點(diǎn)分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，記∠BAO=α．（當(dāng)B點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，記α=0°，如圖2所示；當(dāng)A點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，記α=90°，如圖3所示）．

（1）當(dāng)α=0°時(shí)，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)______；當(dāng)α=90°時(shí)，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)______；
（2）當(dāng)α=60°時(shí)，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)______；
（3）請(qǐng)從α=15°、α=30°、α=45°、α=75°中任意選兩個(gè)角度，分別求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（其中一個(gè)寫出詳細(xì)的求解過程，另一個(gè)直接寫出答案）當(dāng)α=______時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；
（4）根據(jù)前面的探索，當(dāng)α為任意銳角時(shí)，你認(rèn)為點(diǎn)C是否會(huì)落在某條線段上運(yùn)動(dòng)，若存在，請(qǐng)寫出這條線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式及自變量的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin15°=cos75°=，sin75°=cos15°=）