Question

【題目】拋物線y=x2﹣2mx﹣3m2（m＞0）與x軸交于A、B兩點，A點在B點左邊，與y軸交于C點，頂點為M．
（1）當m=1時，求點A、B、M坐標；
（2）如圖（1）的條件下，若P為拋物線上一個動點，以AP為斜邊的等腰直角的直角頂點Q在對稱軸上，（A、P、Q按順時針方向排列），求P點坐標．

（3）如圖2，若一次函數(shù)y=kx+b過B點且與拋物線只有一個公共點，平移直線y=kx+b，使其過拋物線的頂點M，與拋物線另一個交點為D，與x軸交于F點，當m變化時，求證：DF：MF是定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當m=1時，拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，

當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，則A（﹣1，0），B（3，0）；

∵y=（x﹣1）2﹣4，

∴M點坐標為（1，﹣4）；

（2）解：拋物線的對稱軸為直線x=1，直線x=1交x軸于N，設P（t，t2﹣2t﹣3），Q（1，a）

作PH⊥直線x=1于點H，如圖，

∵△APQ為等腰直角三角形，

∴PQ=AQ，∠AQP=90°，

∵∠AQH+∠AQN=90°，∠AQN+∠QAN=90°，

∴∠PQH=∠QAN，

在△PQH和△QAN中

，

∴△PQH≌△QAN，

∴QH=AN，PH=QN，

即t2﹣2t﹣3﹣a=2，1﹣t=a，

∴t2﹣2t﹣3﹣（1﹣t）=2，

整理得t2﹣t﹣5=0，解得t1= ，t2= ，

∴P點坐標為（ ， ）或（ ， ）；

（3）解：證明：y=x2﹣2mx﹣3m2=（x﹣m）2﹣4m2，則M（m，﹣4m2），

當y=0時，x2﹣2mx﹣3m2=0，解得x1=﹣m，x2=3m，則B（3m，0），

把B（3m，0）代入y=kx+b得3mk+b=0，解得b=﹣3mk，

則直線y=kx+b的解析式表示為y=kx﹣3mk，

∵一次函數(shù)y=kx﹣3mk與拋物線只有一個公共點，

∴方程x2﹣2mx﹣3m2=kx﹣3mk有相等的實數(shù)解，

方程整理為x2﹣（2m+k）x﹣3m2+3mk=0，

∵△=（2m+k）2﹣4（﹣3m2+3mk）=0，

∴k=4m，

∴一次函數(shù)y=kx+b表示為y=4mx﹣12m2，

設直線y=kx+b平移后的解析式為y=4mx+n，

把M（m，﹣4m2）代入得﹣4m2=﹣4m2+n，解得n=﹣8m2，

即經(jīng)過點D的直線解析式為y=4mx﹣8m2，

當y=0時，4mx﹣8m2=0，解得x=2m，則F（2m，0）

解方程組 得 或 ，則D（5m，12m2）

作AG⊥x軸于E，MG∥x軸，它們相交于點G，如圖2，

∵EF∥MG，

∴ = = =3．

【解析】（1）把m=1代入得到拋物線的解析式，然后利用配方法可求得點M的坐標，接下來，令y=0可求得對應的x的值，從而可得到點A和點B的坐標；
（2）設P（t，t2﹣2t﹣3），Q（1，a），作PH⊥直線x=1于點H，首先證明△PQH≌△QAN，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到QH=AN，PH=QN，從而可得到關于a、t的方程組，解方程組可求得點P的坐標；
（3）作AG⊥x軸于E，MG∥x軸，它們相交于點G，利用配方法求得拋物線的頂點坐標為M（m，﹣4m2），然后令y=0可求得B（3m，0），把B（3m，0）代入y=kx+b得3mk+b=0，求得b的值，從而得直線的解析式為y=kx﹣3mk，接下來，將y=kx﹣3mk代入拋物線的解析式，得到關于x的方程，然后由一次函數(shù)y=kx﹣3mk與拋物線只有一個公共點可得到△=0，從而可得到k與m的關系，設直線y=kx+b平移后的解析式為y=4mx+n，把點M的坐標代入可得到n=﹣8m2，則經(jīng)過點D的直線解析式為y=4mx﹣8m2，然后再求得點F的坐標，解方程組可求得點D的坐標，最后，依據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可.