Question

【題目】四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點E為AD上一點，連接AC，CB，∠B=∠AEC．
（1）如圖1，求證：CE=CD；

（2）如圖2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度數(shù)；

（3）如圖3，在（2）的條件下，延長CE交⊙O于點G，若tan∠BAC= ，EG=2，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O

∴∠B+∠D=180°，

∵∠B=∠AEC，

∴∠AEC+∠D=180°，

∵∠AEC+∠CED=180°，

∴∠D=∠CED，

∴CE=CD．

（2）解：作CH⊥DE于H．

設∠ECH=α，由（1）CE=CD，

∴∠ECD=2α，

∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，

∴∠CAE+∠AEC=120°

∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°，

∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣（60°+α）=30°﹣α，

∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α，

∵∠ACD=2∠BAC，

∴∠BAC=30°+α，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°﹣α=60°．

（3）解：連接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG

∵∠CED=∠AEG，∠CDE=∠AGE，∠CED=∠CDE，

∴∠AEG=∠AGE，

∴AE=AG，

∴EM=MG= EG=1，

∴∠EAG=∠ECD=2α，

∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°﹣α+2α=∠BAC，

∵tan∠BAC= ，

∴設NG=5 m，可得AN=11m，AG= =14m，

∵∠ACG=60°，

∴CN=5m，AM=8 m，MG= =2m=1，

∴m= ，

∴CE=CD=CG﹣EG=10m﹣2=3

∴AE= = =7．

【解析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補及平角的定義，得出∠B與∠D互補，∠AEC與∠CED互補，再根據(jù)等角的補角相等，得出∠D=∠CED，即可得出結(jié)論。
（2）作CH⊥DE于H．設∠ECH=α，先用含α的代數(shù)式分別表示出∠CAE和∠BAC，即可求得∠BAD的度數(shù)。
（3）連接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，先證明∠CAG=∠BAC，根據(jù)tan∠BAC的值，用含m的代數(shù)式分別表示出NG、AN、AG的長，再由∠ACG=60°，求出m的值，再根據(jù)勾股定理即可求得AE的長。
【考點精析】利用勾股定理的概念和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；把圓分成n(n≥3):1、依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形2、經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形．