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        1. 如圖,對稱軸為直線x=
          7
          2
          的拋物線經(jīng)過點A(6,0)和B(0,4).
          (1)求拋物線解析式及頂點坐標(biāo);
          (2)設(shè)點E(x,y)是拋物線上一動點,且位于第四象限,四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形,求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
          ①當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時,請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形?
          ②是否存在點E,使平行四邊形OEAF為正方形?若存在,求出點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
          (1)因為拋物線的對稱軸是x=
          7
          2
          ,
          設(shè)解析式為y=a(x-
          7
          2
          2+k.
          把A,B兩點坐標(biāo)代入上式,得
          a(6-
          7
          2
          )2+k=0
          a(0-
          7
          2
          )2+k=4
          ,
          解得a=
          2
          3
          ,k=-
          25
          6

          故拋物線解析式為y=
          2
          3
          (x-
          7
          2
          2-
          25
          6
          ,頂點為(
          7
          2
          ,-
          25
          6
          ).

          (2)∵點E(x,y)在拋物線上,位于第四象限,且坐標(biāo)適合y=
          2
          3
          (x-
          7
          2
          2-
          25
          6
          ,
          ∴y<0,
          即-y>0,-y表示點E到OA的距離.
          ∵OA是OEAF的對角線,
          ∴S=2S△OAE=2×
          1
          2
          ×OA•|y|=-6y=-4(x-
          7
          2
          2+25.
          因為拋物線與x軸的兩個交點是(1,0)和(6,0),
          所以自變量x的取值范圍是1<x<6.
          ①根據(jù)題意,當(dāng)S=24時,即-4(x-
          7
          2
          2+25=24.
          化簡,得(x-
          7
          2
          2=
          1
          4

          解得x1=3,x2=4.
          故所求的點E有兩個,
          分別為E1(3,-4),E2(4,-4),
          點E1(3,-4)滿足OE=AE,
          所以平行四邊形OEAF是菱形;
          點E2(4,-4)不滿足OE=AE,
          所以平行四邊形OEAF不是菱形;
          ②當(dāng)OA⊥EF,且OA=EF時,平行四邊形OEAF是正方形,
          此時點E的坐標(biāo)只能是(3,-3),
          而坐標(biāo)為(3,-3)的點不在拋物線上,
          故不存在這樣的點E,使平行四邊形OEAF為正方形.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,已知拋物線C1的頂點坐標(biāo)是D(1,4),且經(jīng)過點C(2,3),又與x軸交于點A、E(點A在點E左邊),與y軸交于點B.
          (1)拋物線C1的表達(dá)式是______;
          (2)四邊形ABDE的面積等于______;
          (3)問:△AOB與△DBE相似嗎?并說明你的理由;
          (4)設(shè)拋物線C1的對稱軸與x軸交于點F.另一條拋物線C2經(jīng)過點E(C2與C1不重合),且頂點為M(a,b),對稱軸與x軸交于點G,并且以M、G、E為頂點的三角形與以點D、E、F為頂點的三角形全等,求a、b的值.(只需寫出結(jié)果,不必寫解答過程).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,拋物線y=ax2-
          1
          3
          x+2
          與x軸交于點A和點B,與y軸交于點C,已知點B的坐標(biāo)為(3,0).
          (1)求a的值和拋物線的頂點坐標(biāo);
          (2)分別連接AC、BC.在x軸下方的拋物線上求一點M,使△AMC與△ABC的面積相等;
          (3)設(shè)N是拋物線對稱軸上的一個動點,d=|AN-CN|.探究:是否存在一點N,使d的值最大?若存在,請直接寫出點N的坐標(biāo)和d的最大值;若不存在,請簡單說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,已知點A的坐標(biāo)是(-1,0),點B的坐標(biāo)是(9,0),以AB為直徑作⊙O′,交y軸的負(fù)半軸于點C,連接AC,BC,過A,B,C三點作拋物線.
          (1)求拋物線的解析式;
          (2)點E是AC延長線上一點,∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D,連接BD,求直線BD的解析式;
          (3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點P,使得∠PDB=∠CBD?如果存在,請求出點P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
          第三問改成,在(2)的條件下,點P是直線BC下方的拋物線上一動點,當(dāng)點P運動到什么位置時,△PCD的面積是△BCD面積的三分之一,求此時點P的坐標(biāo).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,二次函數(shù)y=-
          1
          2
          x2+mx+n的圖象與y軸交于點N,其頂點M在直線y=-
          3
          2
          x上運動,O為坐標(biāo)原點.

          (1)當(dāng)m=-2時,求點N的坐標(biāo);
          (2)當(dāng)△MON為直角三角形時,求m、n的值;
          (3)已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-4,2),B(-4,-3),C(-2,2),當(dāng)拋物線y=-
          1
          2
          x2+mx+n在對稱軸左側(cè)的部分與△ABC的三邊有公共點時,求m的取值范圍.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖(1),拋物線y=ax2-3ax+b經(jīng)過A(-1,0),C(3,-4)兩點,與y軸交于點D,與x軸交于另一點B.
          (1)求此拋物線的解析式;
          (2)若直線L:y=kx+1(k≠0)將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分,求直線L的解析式;
          (3)如圖(2),過點E(1,1)作EF⊥x軸于點F,將△AEF繞平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)180°后得△MNT(點M、N、T分別與點A,E,F(xiàn)對應(yīng)),使點M,N在拋物線上,求點M,N的坐標(biāo).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

          飛機(jī)著陸后滑行的距離s(單位:米)與滑行的時間t(單位:秒)之間的函數(shù)關(guān)系式是s=60t-1.5t2.飛機(jī)著陸后滑行______秒才能停下來.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          在端午節(jié)前夕,三位同學(xué)到某超市調(diào)研一種進(jìn)價為2元的粽子的銷售情況.請根據(jù)小麗提供的信息:

          (1)請解答小華提出的問題;
          (2)能否獲得比800元更多的利潤?若能,請舉例說明;若不能,試說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          某地計劃開鑿一條單向行駛(從正中通過)的隧道,其截面是拋物線拱形ACB,而且能通過最寬3米,最高3.5米的廂式貨車.按規(guī)定,機(jī)動車通過隧道時車身距隧道壁的水平距離和鉛直距離最小都是0.5米.為設(shè)計這條能使上述廂式貨車恰好安全通過的隧道,在圖紙上以直線AB為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,求拋物線拱形的表達(dá)式、隧道的跨度AB和拱高OC.

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