Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，4）和點(diǎn)B．過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為點(diǎn)D，連結(jié)AB、BC、DC、DA．點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為a（a＞1）

（1）求k的值
（2）若△ABD的面積為4；
①求點(diǎn)B的坐標(biāo)，
②在平面內(nèi)存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)A、B、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫(xiě)出符合條件的所有點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）①（3，），②（3， ）；（3， ）；（3，- ）

【解析】

（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出k值；
（2）①設(shè)AC，BD交于點(diǎn)M，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，結(jié)合AC⊥x軸，BD⊥y軸可得出BD，AM的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式結(jié)合△ABD的面積為4可求出a的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，n），分AB為對(duì)角線(xiàn)、AC為對(duì)角線(xiàn)以及BC為對(duì)角線(xiàn)三種情況考慮，利用平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)角線(xiàn)互相平分）可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解：（1）∵函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，4），
∴k=1×4=4．
（2）①設(shè)AC，BD交于點(diǎn)M，如圖1所示．

∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為a（a＞1），點(diǎn)B在y=的圖象上，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，）．
∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，
∴BD=a，AM=AC-CM=4-．
∵△ABD的面積為4，
∴BDAM=4，即a（4-）=8，
∴a=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，）

②存在，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，n）．
分三種情況考慮，如圖2所示．

（i）當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，∵A（1，4），B（3，），C（1，0），
∴ ，解得：，
∴點(diǎn)E1的坐標(biāo)為（3， ）；
（ii）當(dāng)AC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，∵A（1，4），B（3，），C（1，0），

∴ ，解得：，

∴點(diǎn)E2的坐標(biāo)為（3， ）；

（iii）當(dāng)BC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，∵A（1，4），B（3，），C（1，0），

∴ ，解得：，

∴點(diǎn)E2的坐標(biāo)為（3，- ）.

綜上所述：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3， ）；（3， ）；（3，- ）.