Question

在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn)．

（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．
（溫馨提示：可以作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接CD′與x軸交于點(diǎn)E，此時(shí)△CDE的周長(zhǎng)是最小的．這樣，你只需求出OE的長(zhǎng)，就可以確定點(diǎn)E的坐標(biāo)了．）

Answer 1

（1）如圖，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'，連接CD'與x軸交于點(diǎn)E，連接DE．
若在邊OA上任取點(diǎn)E'與點(diǎn)E不重合，連接CE'、DE'、D'E'
由DE'+CE'=D'E'+CE'＞CD'=D'E+CE=DE+CE，
可知△CDE的周長(zhǎng)最小．
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D為OB的中點(diǎn)，
∴BC=3，D'O=DO=2，D'B=6，
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BC，有

OE

BC

=

D′O

D′B

∴OE=

D′O•BC

D′B

=

2×3

6

=1
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）；

（2）如圖，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'，在CB邊上截取CG=2，連接D'G與x軸交于點(diǎn)E，在EA上截取EF=2，
∵GC∥EF，GC=EF，
∴四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF，
又DC、EF的長(zhǎng)為定值，
∴此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小．
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BG，有

OE

BG

=

D′O

D′B

．
∴OE=

D′O•BG

D′B

=

D′O•(BC-CG)

D′B

=

2×1

6

=

1

3

∴OF=OE+EF=

1

3

+2=

7

3

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

1

3

，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

7

3

，0）（10分）