Question

【題目】交通工程學(xué)理論把在單向道路上行駛的汽車(chē)看成連續(xù)的液體，并用流量、速度、密度三個(gè)概念描述車(chē)流的基本特征。其中流量q（輛/小時(shí)）指單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)道路指定斷面的車(chē)輛數(shù)；速度v（千米/小時(shí)）指通過(guò)道路指定斷面的車(chē)輛速度；密度（輛/千米）指通過(guò)道路指定斷面單位長(zhǎng)度內(nèi)的車(chē)輛數(shù)，為配合大數(shù)據(jù)治堵行動(dòng)，測(cè)得某路段流量q與速度v之間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

速度v（千米/小時(shí)）	…	5	10	20	32	40	48	…
流量q（輛/小時(shí)）	…	550	1000	1600	1792	1600	1152	…

（1）根據(jù)上表信息，下列三個(gè)函數(shù)關(guān)系式中，刻畫(huà)q，v關(guān)系最準(zhǔn)確的是（只需填上正確答案的序號(hào)）① ② ③
（2）請(qǐng)利用（1）中選取的函數(shù)關(guān)系式分析，當(dāng)該路段的車(chē)流速為多少時(shí)，流量達(dá)到最大？最大流量是多少？
（3）已知q，v，k滿足 ，請(qǐng)結(jié)合（1）中選取的函數(shù)關(guān)系式繼續(xù)解決下列問(wèn)題：
①市交通運(yùn)行監(jiān)控平臺(tái)顯示，當(dāng) 時(shí)道路出現(xiàn)輕度擁堵，試分析當(dāng)車(chē)流密度k在什么范圍時(shí)，該路段出現(xiàn)輕度擁堵；
②在理想狀態(tài)下，假設(shè)前后兩車(chē)車(chē)頭之間的距離d（米）均相等，求流量q最大時(shí)d的值

Answer 1

【答案】
（1）③
（2）

解：∵q=-2v2+120v=-2（v-30）2+1800.

∴當(dāng)v=30時(shí)，q最大=1800.

（3）

解：①∵q=vk,

∴k===-2v+120.

∴v=-k+60.

∵12≤v＜18,

∴12≤-k+60＜18.

解得：84＜k≤96.

②∵當(dāng)v=30時(shí)，q最大=1800.

又∵v=-k+60,

∴k=60.

∴d==.

∴流量最大時(shí)d的值為米.

【解析】（1）解：設(shè)q與v的函數(shù)關(guān)系式為q=av2+bv,依題可得：
,
解得,
∴q=-2v2+120v.
所以答案是③.
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的最值對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a．