Question

【題目】如圖所示，△ABC中，∠A=90°，D是AC上一點(diǎn)，且∠ADB=2∠C，P是BC上任一點(diǎn)，PE⊥BD于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，下列結(jié)論：

①△DBC是等腰三角形；②∠C=30°；③PE+PF=AB；④PE2+AF2=BP2．

其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ADB=∠C+∠DBC，然后求出∠C=∠DBC，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得DC=DB，從而判斷①正確；沒(méi)有條件說(shuō)明∠C的度數(shù)，判斷出②錯(cuò)誤；連接PD，利用△BCD的面積列式求解即可得到PE+PF=AB，判斷出③正確；過(guò)點(diǎn)B作BG∥AC交FP的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠C=∠PBG，∠G=∠CFP=90°，然后求出四邊形ABGF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AF=BG，根據(jù)然后利用“角角邊”證明△BPE和△BPG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BG=BE，再利用勾股定理列式求解即可判斷④正確．

在 △BCD 中， ∠ADB=∠C+∠DBC ，

∵∠ADB=2∠C ，

∴∠C=∠DBC ，

∴DC=DB ，

∴△DBC 是等腰三角形，故①正確；

無(wú)法說(shuō)明 ∠C=30° ，故②錯(cuò)誤；

連接 PD ，則 S△BCD=BDPE+DCPF=DCAB，

∴PE+PF=AB ，故③正確；

過(guò)點(diǎn) B 作 BG ∥ AC 交 FP 的延長(zhǎng)線(xiàn)于 G ，

則 ∠C=∠PBG ， ∠G=∠CFP=90° ，

∴∠PBG=∠DBC ，四邊形 ABGF 是矩形，

∴AF=BG ，

在 △BPE 和 △BPG 中，

，

∴△BPE ≌ △BPG(AAS) ，

∴BG=BE ，

∴AF=BE ，

在 Rt△PBE 中， PE +BE =BP ，

即 PE +AF =BP ，故④正確。

綜上所述，正確的結(jié)論有①③④。

故選C.