Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD中，AB＝4，點E，F在對角線BD上，AE∥CF．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）若∠ABE＝2∠BAE，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DF＝4﹣4．

【解析】

（1）利用平行線性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得∠AEB=∠CFD，∠ABE=∠CDF，AB=CD，則借助AAS可證明△ABE≌△CDF；

（2）過點E作HE⊥BE，交AB于H點，證明∠HAE=∠HEA，得到AH=HE．設(shè)BE=DF=HE=AH=x，則HB=x．根據(jù)AB=4，構(gòu)造關(guān)于x的方程，解方程即可．

解：（1）∵AE∥CF，

∴∠AEF＝∠CFB．

∴∠AEB＝∠CFD．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，

∴△ABE≌△CDF（AAS）．

（2）過點E作HE⊥BE，交AB于H點，

∴∠BHE＝∠HBE＝45°．

∵∠ABE＝2∠BAE，

∴∠BHE＝2∠BAE．

又∵∠BHE＝∠HAE+∠AEH，

∴∠HAE＝∠HEA．

∴AH＝HE．

設(shè)BE＝DF＝HE＝AH＝x，

則HB＝

∴＝4，解得x＝4﹣4．

∴DF＝4﹣4．