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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】在平面直角坐標系中,拋物線yax24axa≠0)交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,這條拋物線的頂點為D

          1)求點D的坐標.

          2)過點CCEx軸交拋物線于點E.當CE2AB時,求點D的坐標.

          3)這條拋物線與直線y=﹣x相交,其中一個交點的橫坐標為﹣1.過點Pm,0)作x軸的垂線,交這條拋物線于點M,交直線y=﹣x于點N,且點M在點N的下方.當線段MN的長度隨m的增大而增大時,求m的取值范圍.

          4)點Q在這條拋物線上運動,若在這條拋物線上只存在兩個點Q,滿足SABQ3SABC,直接寫出a的取值范圍.

          【答案】1(2,﹣4a);(2(2,);(3)﹣1m≤1;(40a或﹣a<﹣

          【解析】

          1)將yax24ax化為頂點式即可寫出點D的坐標;

          2)由對稱軸方程x2及拋物線的對稱性可推出CE,AB的長,推出點A,B的坐標,將AB的坐標代入yax24ax中,即可求出a的值,進一步寫出點D的坐標;

          3)先把x=-1代入y=﹣x中,求出交點坐標,代入yax24ax中,求出拋物線解析式,用含m的代數式分別表示出MN的坐標,進一步表示出MN的長度,為二次函數,可根據增減性確定結果;

          4)分情況討論,當a0時和當a0時,分別列出不等式或不等式組即可.

          1yax24ax

          ax224a,

          ∴點D的坐標為(2,﹣4a);

          2)∵對稱軸為直線x2CEx軸,

          CE4

          CE2AB,∴AB2,

          ∴點AB的坐標為(1,0)、(3,0),

          將(1,0)代入yax24ax中,

          得,a4a0,

          解得,a=﹣

          ∴﹣4a(﹣)﹣,

          ∴點D的坐標為(2,);

          3)把x=-1代入y=﹣x中,得y1

          將(﹣1,1)代入yax24ax中,

          a+4a1

          解得a,

          yx22x,

          ∴點MN的坐標分別為(m,m22m),(m,-m),

          MN=﹣m﹣(m22m)=﹣m2+m+,

          ∵﹣0,對稱軸為直線

          ∴當線段MN的長度隨m的增大而增大時,m的取值范圍是﹣1m≤1

          4)①當a0時,拋物線開口方向向上,

          C坐標為(0,﹣),

          由(1)知,點D的縱坐標為﹣4a

          ∴由題意可列,﹣4a>﹣×3

          解得,a,

          0a

          ②當a0時,拋物線開口方向向下,

          C坐標為(0,﹣),

          由(1)知,點D的縱坐標為﹣4a,

          ∴由題意可列,,

          解得,﹣a

          綜上所述,a的取值范圍為0a或﹣a

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