Question

如圖：第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在一反比例函數(shù)圖象上，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B點(diǎn)，連接AO，已知△AOB的面積為4．①求反比例函數(shù)的解析式；②若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，過點(diǎn)A的直線與x軸相交于點(diǎn)P，且△APB與△AOB相似，求所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；③在②的條件下，求過P、O、A的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）求反比例函數(shù)的解析式實(shí)質(zhì)求Y=

K

X

中K值，因?yàn)椤鰽OB的面積為4，所以K=8；
（2）△APB與△AOB相似，可能全等，也可能相似，所以有三個點(diǎn)滿足條件；
（3）欲求過P、O、A的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，先求其解析式，知道P、O、A三點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法易求，即解．

解答：解：①設(shè)A（x_A，y_A）
∵

1

2

xAyA=4
∵X_A＞0，Y_A＞0
∴x_Ay_A=8
設(shè)y=

k

x

∴x_Ay_A=k
∴k=8．
∴設(shè)比例函數(shù)解析式為y=

8

x

．（2分）

②∵y_A=4，
∴x_A=2
∴A（2，4）
∴OB=2，AB=4
當(dāng)∠AP₁B=∠AOB時，△AOB≌△APB
∴PB=OB=2，∴P₁（4，0）（3分）
當(dāng)∠AP₂B=∠OAB時△AOB∽△P₂AB
可以由

AB

BP2

=

OB

AB

∴

4

BP2

=

2

4

BP₂=8，∴P₂（10，0）．（4分）
當(dāng)P₃在x軸負(fù)半軸上時，
且P₃與P₂關(guān)于點(diǎn)B對稱也滿足△AOB∽△P₃BA
由P₂（10，0），B（2，0），
∴P₃（-6，0）．（5分）

③當(dāng)拋物線經(jīng)過P₁（4，0），O（0，0），A（2，4）時
設(shè)解析式為y=ax²+bx+c
解

0=16a1+4b1+c1 c1=0 4=4a2+2b1

        

a1=-1 b1=4

∴解析式為y=-x²+4x
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4）（6分）
當(dāng)拋物線經(jīng)過P₂（10，0），O（0，0），A（2，4）時
設(shè)所求拋物線為y=a₂x²+b₂x
則

0=100a2+10b2 4=4a2+2b2

    

a2=- 1 4 b2= 5 2

∴y=-

1

4

x2+

5

2

x=-

1

4

(x-5)2+

25

4

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（5，

25

4

）．（8分）
設(shè)經(jīng)過P₃（-6，0），O（0，0），A（2，4）的解析式為：y=a₃x²+b₃x
則

36a3+6b3=0 4a3+2b3=4

∴a3=-

1

2

    b3=3
∴拋物線的解析式是y=-

1

2

x2+3x
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，

9

2

）（10分）．

點(diǎn)評：此題難度中等，考查反比例、二次函數(shù)的圖象性質(zhì)及用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及兩三角形相似等知識點(diǎn)．