Question

如圖，第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在一反比例函數(shù)的圖象上，過(guò)A作AB⊥x軸，垂足為B，連接AO，已知△AOB的面積為4．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，過(guò)點(diǎn)A的直線與x軸交于P，且△APB與△AOB相似，求所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P、O、A的拋物線能否由拋物線y=

1

4

x2經(jīng)過(guò)平移得到？若能，請(qǐng)說(shuō)明由拋物線y=

1

4

x2如何平移得到；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出k的值，即可得出答案；
（2）首先得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用當(dāng)△ABP∽△ABO時(shí)，以及當(dāng)△PBA∽△ABO時(shí)，分別求出即可；
（3）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)是（4，0）或（10，0）時(shí)，拋物線的開口向下，不能由y=

1

4

x2的圖象平移得到，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)是（-6，0）時(shí)，求出二次函數(shù)解析式即可得出平移過(guò)程．

解答：解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），
∵S_△AOB=4，
∴

1

2

xy=4，
∴xy=8，
∴y=

8

x

；

（2）由題意得A（2，4），
∴B（2，0），
∵點(diǎn)P在x軸上，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），
∴∠ABO=∠ABP=90°，
∴△ABP與△ABO相似有兩種情況：
①當(dāng)△ABP∽△ABO時(shí)，
有

AB

AB

=

BP

BO

，
∴BP=BO=2，
∴P（4，0），
②當(dāng)△PBA∽△ABO時(shí)，
有

BA

BO

=

PB

AB

，
即

4

2

=

PB

4

，
∴PB=8，
∴P（10，0）或P（-6，0）；
∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)是（4，0）或（10，0）或（-6，0）；

（3）當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)是（4，0）或（10，0）時(shí)，拋物線的開口向下，
∴不能由y=

1

4

x2的圖象平移得到，
當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)是（-6，0）時(shí)，設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過(guò)點(diǎn)P（-6，0）、A（2，4）與O（0，0），
∴a=

1

4

，b=

3

2

，c=0，
∴y=

1

4

x2+

3

2

x，
∴y=

1

4

(x+3)2-

9

4

，
∴該拋物線可以由y=

1

4

x2向左平移3個(gè)單位，向下平移

9

4

個(gè)單位平移得到．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的平移等知識(shí)，相似三角形的判定與性質(zhì)經(jīng)常與二次函數(shù)綜合應(yīng)用，同學(xué)們應(yīng)特別注意．