Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．點O是AC的中點，過點O的直線l從與AC重合的位置開始，繞點O作逆時針旋轉(zhuǎn)，交AB邊于點D，過點C作CE∥AB交直線l于點E，設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為α．
（1）①當α=______度時，四邊形EDBC是等腰梯形，此時AD的長為______；
②當α=______度時，四邊形EDBC是直角梯形，此時AD的長為______；
（2）當α=90°時，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說明理由．

Answer 1

（1）①當四邊形EDBC是等腰梯形時，
∵∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，
∴α=∠EDB-∠A=30°，
∴△ADO是等腰三角形，
∴AD=OD，
過點O作OF∥BC，
∵BC⊥AC，
∴OF⊥AC，
∴OF是△ABC的中位線，
∴OF=

1

2

BC=1，
∵α=∠EDB-∠A=30°，
∴∠ODF=60°=∠DOF=60°，
∴△ODF是等邊三角形，
∴OD=OF=DF=1，
∵∠A=∠α=30°，
∴AD=OD=1；

②當四邊形EDBC是直角梯形時，∠ODA=90°，而∠A=30°，
根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得α=90°-∠A=60°，此時，AD=

1

2

AC×

3

2

=1.5．

（2）當∠α=90°時，四邊形EDBC是菱形．
∵∠α=∠ACB=90°，
∴BC∥ED，
∵CE∥AB，
∴四邊形EDBC是平行四邊形．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，
∴AB=4，AC=2

3

，
∴AO=

1

2

AC=

3

．
在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=

1

2

AD，
AD=

AO2+OD2

=

( 3 )2+( 1 2 AD)2

，
∴AD=2，
∴BD=2，
∴BD=BC．
又∵四邊形EDBC是平行四邊形，
∴四邊形EDBC是菱形．