Question

填空或解答：點B、C、E在同一直線上，點A、D在直線CE的同側，AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，直線AE、BD交于點F．
（1）如圖①，若∠BAC=60°，則∠AFB=______；如圖②，若∠BAC=90°，則∠AFB=______；
（2）如圖③，若∠BAC=α，則∠AFB=______（用含α的式子表示）；
（3）將圖③中的△ABC繞點C旋轉（點F不與點A、B重合），得圖④或圖⑤．在圖④中，∠AFB與∠α的數(shù)量關系是∠AFB=90°-

1

2

α；在圖⑤中，∠AFB與∠α的數(shù)量關系是______．請你任選其中一個結論證明．

Answer 1

（1）∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED=60°，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD
=180°-∠BAC-∠ABC
=∠ACB，
∴∠AFB=60°，
同理可得：∠AFB=45°；

（2）∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠ACB=∠ECD，

BC

DC

=

AC

EC

，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD，
=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ACB=90°-

1

2

α，
∴∠AFB=90°-

1

2

α．
故答案為：∠AFB=90°-

1

2

α．

（3）圖4中：∠AFB=90°-

1

2

α；
圖5中：∠AFB=90°+

1

2

α．
∠AFB=90°-

1

2

α的證明如下：
∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠ACB=∠ECD，

BC

DC

=

AC

EC

，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD，
=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACB，
∵AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ACB=90°-

1

2

α，
∴∠AFB=90°-

1

2

α．

∠AFB=90°+

1

2

α的證明如下：
∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED，
∴△ABC∽△EDC，
∴∠ACB=∠ECD，

BC

DC

=

AC

EC

，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
∴∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF，
=∠CDE+∠CED=180°-∠DCE，
∵AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠DEC=α，
∴∠DCE=90°-

1

2

α，
∴∠AFB=180°-（90°-

1

2

α）=90°+

1

2

α．