Question

已知x₁，x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）是否存在實(shí)數(shù)k，使（2x₁-x₂）（x_l-2x₂）=-

3

2

成立？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）求使

x1

x2

+

x2

x1

-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值．

Answer 1

分析：（1）把（2x₁-x₂）（x_l-2x₂）=-

3

2

，即2（x₁+x₂）²-9x₁x₂=-1.5，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得方程兩根的和與兩根的積代入即可得到關(guān)于k的方程，即可求得k的值，然后判斷是否滿足即可；
（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得

x1

x2

+

x2

x1

-2=4-

4

k+1

，根據(jù)

x1

x2

+

x2

x1

-2的值為整數(shù)，以及k的范圍即可確定k的取值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得
△=（-4k）²-4×4k（k+1）=-16k≥0．
解得k≤0．
又∵k≠0，∴k＜0．
由（2x₁-x₂）（x_l-2x₂）=-

3

2

得
2（x₁²+x₂²）-5x₁x₂=-1.5．
2（x₁+x₂）²-9x₁x₂=-1.5．
2-9×

k+1

4k

=-1.5
18k+18=28k，
解得k=1.8．
經(jīng)檢驗(yàn)k=1.8是方程2-9×

k+1

4k

=-1.5的解．
∵k＜0，∴不存在實(shí)數(shù)k．
（2）原式=

x 2 1 +x 2 2

x1x2

-2=

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

-2=

(x1+x2)2

x1x2

-4=

4

k+1

-4，
∴k+1=1或-1，或2，或-2，或4，或-4
解得k=0或-2，1，-3，3，-5．
∵k＜0．
∴k=-2，-3或-5．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是把所求的代數(shù)式整理成與根與系數(shù)有關(guān)的形式，注意所求值的取舍．