Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y= x+1與拋物線y= x2+bx+c交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線y= x2+bx+c 交x軸正半軸于點(diǎn)C，橫坐標(biāo)為t的點(diǎn)P在第四象限的拋物線上，過點(diǎn)P作AB的垂線交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)Q為垂足，設(shè)CE的長為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量t的取值范圍：
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)B作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，連接DQ．當(dāng)∠AQD=3∠PQD時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得： x+1=0，解得：x=﹣2，

∴點(diǎn)A（﹣2，0）．

將x=4代入得：y= ×4+1=3，

∴B（4，3）．

將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得： ，

解得： ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ ﹣3．

（2）

解：如圖1所示：

令y=0得：0= x2﹣ ﹣3，解得：x1=﹣2，x2=3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t， t2﹣ t﹣3）．

∵EC⊥AB，

∴設(shè)EC的解析式為y=﹣2x+b．

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得：﹣2t+b= t2﹣ t﹣3，解得b= t2+ t﹣3．

設(shè)直線EC的解析式為y=﹣2x+ t2+ t﹣3．

令y=0，得：2x+ t2+ t﹣3=0，解得：x= t2+ t﹣ ．

∴點(diǎn)E（ t2+ t﹣ ，0）．

∴EC=3﹣（ t2+ t﹣ ）=﹣ t2﹣ t+ ．

∴d=﹣ t2﹣ t+ ．

∵點(diǎn)P在第四象限，

∴0＜t＜3．

（3）

解：如圖2所示：過點(diǎn)d作CF⊥AB，垂足為F．

∵∠AQD=3∠PQD，∠AQP=90°，

∴∠PQD=45°．

∴∠DQF=45°．

∴QF=DF．

∵AB的解析式為y= x+1，

∴tan∠FAD= ，即DF= AF．

∴Q為AF的中點(diǎn)．

∵QP∥DF，

∴E為AD的中點(diǎn)．

∴E（1，0）．

∴EC=2，即2=﹣ t2﹣ t+ ，解得x=2或x=﹣5．

∵點(diǎn)P在第四象限，

∴x=2，

當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣2．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2）．

【解析】（1）先求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得b、c的值可得到拋物線的解析式；（2）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t， t2﹣ t﹣3），EC的解析式為y=﹣2x+b，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入可求得b的值，得到直線EC的解析式為y=﹣2x+ t2+ t﹣3，接下來，求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，依據(jù)d=EC可得到d與t的函數(shù)關(guān)系是；（3）過點(diǎn)D作CF⊥AB，垂足為F．先證明△QFD為等腰直角三角形，可得到QF=DF，由AB的解析式可知tan∠FAD= ，z則Q為AF的中點(diǎn)，故此E為AD的中點(diǎn)，則可得到EC的長，由d和t的函數(shù)關(guān)系是可得到t的值．
【考點(diǎn)精析】掌握等腰直角三角形和函數(shù)關(guān)系式是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式．