Question

如圖所示，在凸四邊形ABCD中，∠ABD＞∠CBD，∠ADB＞∠CDB．求證：AB+AD＞BC+CD．

Answer 1

分析：如圖，過(guò)頂點(diǎn)B作∠EBD=∠CBD，BE=BC，連接ED，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F．構(gòu)造全等三角形：△BCD≌△BED（SAS），則對(duì)應(yīng)邊ED=CD，故根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到：AB+AD=AB+AF+FD＞BF+FD=BE+EF+FD＞BE+ED，即AB+AD＞BC+CD．

解答：證明：∵∠ABD＞∠CBD，∠ADB＞∠CDB，
∴如圖，過(guò)頂點(diǎn)B作∠EBD=∠CBD，BE=BC，連接ED，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F．
∵在△BCD與△BED中，

BE=BC ∠EBD=∠CBD BD=BD

，
∴△BCD≌△BED（SAS），
∴ED=CD，
∴AB+AD=AB+AF+FD＞BF+FD=BE+EF+FD＞BE+ED，即AB+AD＞BC+CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．