【題目】如圖,在四邊形中,
是對(duì)角線,
,
,延長(zhǎng)
交
的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
.
(1)求證:;
(2)若,求
的值;
(3)過(guò)點(diǎn)作
,交
的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
,過(guò)點(diǎn)
作
,交
的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
,連接
.設(shè)
,點(diǎn)
是直線
上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)
的值最小時(shí),點(diǎn)
與點(diǎn)
是否可能重合?若可能,請(qǐng)說(shuō)明理由并求此時(shí)
的值(用含
的式子表示);若不可能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3)可以重合,理由見(jiàn)解析,
的最小值為
.
【解析】
(1)運(yùn)用HL證明即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)已知條件可證出AB=BE,從而可得∠BAE=45°,再由角平分線的定義可得∠BAC的度數(shù);
(3)連接,連接
,延長(zhǎng)
交
的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
.證明點(diǎn)
與點(diǎn)
關(guān)于直線
成軸對(duì)稱,也即點(diǎn)
、點(diǎn)
、點(diǎn)
關(guān)于直線
的對(duì)稱點(diǎn)
,這三點(diǎn)共線,也即
的值最小時(shí),點(diǎn)
與點(diǎn)
重合.再證明
為等邊三角形即可得到結(jié)論.
(1)證明:,
,
,
.
.
(2),
又,
.
,
.
.
,
.
由(1)得,
.
.
(3)當(dāng)的值最小時(shí),點(diǎn)
與點(diǎn)
可以重合,理由如下:
,
,
.
,
.
.
.
由(1)得,,
,
.即
平分
.
又,
,
.
連接,連接
,延長(zhǎng)
交
的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
.
設(shè),則
.
在中,
.
在中,
.
,
.
,
.
當(dāng)時(shí),
,
,
.
.
即點(diǎn)與點(diǎn)
關(guān)于直線
成軸對(duì)稱,也即點(diǎn)
、點(diǎn)
關(guān)于直線
的對(duì)稱點(diǎn)
,這三點(diǎn)共線,也即
的值最小時(shí),點(diǎn)
與點(diǎn)
重合.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),
,也即
.
所以,當(dāng)時(shí),
取最小值時(shí)的點(diǎn)
與點(diǎn)
重合.
此時(shí)的最小值即為
.
,
,
,
.
.
.
,
,
三點(diǎn)共線.
當(dāng)時(shí),在
中,
.
∴ ∠EPA=60°.
為等邊三角
.,
.
.
,
.
的最小值為
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩地之間的鐵路交通設(shè)有特快列車和普通快車兩種車次,某天一輛普通快車從甲地出發(fā)勻速向乙地行駛,同時(shí)另一輛特快列車從乙地出發(fā)勻速向甲地行駛,兩車離甲地的路程S(千米)與行駛時(shí)間t(時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)甲地到乙地的路成為________千米,普通快車到達(dá)乙地所用時(shí)間為_______小時(shí).
(2)求特快列車離甲地的路程s與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)在甲、乙兩地之間有一座鐵路橋,特快列車到鐵路橋后又行駛0.5小時(shí)與普通快車相遇,求甲地與鐵路橋之間的路程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,點(diǎn)P為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PE⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E得度數(shù).
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)∠B=α,∠ACB=β(β>α),求∠E得大。ㄓ煤α、β的代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知銳角∠MPN,依照下列步驟進(jìn)行尺規(guī)作圖:
(1)在射線PN上截取線段PA;
(2)分別以P,A為圓心,大于PA的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于E,F兩點(diǎn);
(3)作直線EF,交射線PM于點(diǎn)B;
(4)在射線AN上截取AC=PB;
(5)連接BC.
則∠BCP與∠MPN之間的數(shù)量關(guān)系是_______________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商品的進(jìn)價(jià)為每件50元.當(dāng)售價(jià)為每件70元時(shí),每星期可賣出300件,現(xiàn)需降價(jià)處理,且經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查:每降價(jià)1元,每星期可多賣出20件.在確保盈利的前提下,解答下列問(wèn)題:
(1)若設(shè)每件降價(jià)x元、每星期售出商品的利潤(rùn)為y元,請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量x的取值范圍;
(2)當(dāng)降價(jià)多少元時(shí),每星期的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線,DF⊥AB,垂足為F,DE=DG,△ADG和△AED的面積分別為48和36,求△EDF的面積________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,AC=BC,分別過(guò)A,B兩點(diǎn)作互相平行的直線AM,BN,過(guò)點(diǎn)C的直線分別交直線AM,BN于點(diǎn)D,E.
(1)如圖1,若AM⊥AB,求證:CD=CE;
(2)如圖2,∠ABC=∠DEB=60°,判斷線段AD,DC與BE之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某落地鐘鐘擺的擺長(zhǎng)為米,來(lái)回?cái)[動(dòng)的最大夾角為
,已知在鐘擺的擺動(dòng)過(guò)程中,擺錘離地面的最低高度為
米,最大高度為
米,則
等于( )
A. B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形中,
、
為對(duì)角線,點(diǎn)
、
、
、
分別為
、
、
、
邊的中點(diǎn),下列說(shuō)法:
①當(dāng)時(shí),
、
、
、
四點(diǎn)共圓.②當(dāng)
時(shí),
、
、
、
四點(diǎn)共圓.③當(dāng)
且
時(shí),
、
、
、
四點(diǎn)共圓.其中正確的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
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