Question

如圖，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于點O．
①若OC=OB，求證：點O在∠BAC的平分線上．（提示：連接AO）
②若點O在∠BAC的平分線上，求證：OC=OB．

Answer 1

分析：①連接AO．通過全等三角形的判定定理ASA證明△CEO≌△BDO，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等知OC=OB；
②由角平分線的性質(zhì)可得OD=OE，然后證明△DOB≌△EOC，可得證OB=OC．

解答：解：①連接AO．
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CEB=∠BDO=90°；
又∵∠COE=∠BOD（對頂角相等），
∴∠C=∠B（等角的余角相等）；
∴在△CEO和△BDO中，

∠C=∠B OC=OB ∠COE=∠BOD

，
∴△CEO≌△BDO（ASA），
∴OE=OD（全等三角形的對應(yīng)邊相等），
∴點O在∠BAC的平分線上；

②證明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴OD=OE，
在△DOB和△EOC中，
∠DOB=∠EOC，OD=OE，∠ODB=∠OEC，
∴△DOB≌△EOC（ASA），
∴OB=OC．

點評：此題主要考查角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，注意點到直線的距離是垂線段的長．