Question

【題目】如圖，中，，是上一點，且，是上任一點，于點，于點，下列結論：①是等腰三角形；②；③；④，其中正確的結論是（ ）

A.①②B.①③④C.①④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ADB＝∠C＋∠DBC，然后求出∠C＝∠DBC，再根據等角對等邊可得DC＝DB，從而判斷①正確；沒有條件說明∠C的度數(shù)，判斷出②錯誤；連接PD，利用△BCD的面積列式求解即可得到PE＋PF＝AB，判斷出③正確；過點B作BG∥AC交FP的延長線于G，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠C＝∠PBG，∠G＝∠CFP＝90°，然后求出四邊形ABGF是矩形，根據矩形的對邊相等可得AF＝BG，根據然后利用“角角邊”證明△BPE和△BPG全等，根據全等三角形對應邊相等可得BG＝BE，再利用勾股定理列式求解即可判斷④正確．

在△BCD中，∠ADB＝∠C＋∠DBC，

∵∠ADB＝2∠C，

∴∠C＝∠DBC，

∴DC＝DB，

∴△DBC是等腰三角形，故①正確；

無法說明∠C＝30°，故②錯誤；

連接PD，則S△BCD＝BDPE＋DCPF＝DCAB，

∴PE＋PF＝AB，故③正確；

過點B作BG∥AC交FP的延長線于G，

則∠C＝∠PBG，∠G＝∠CFP＝90°，

∴∠PBG＝∠DBC，四邊形ABGF是矩形，

∴AF＝BG，

在△BPE和△BPG中，

，

∴△BPE≌△BPG（AAS），

∴BG＝BE，

∴AF＝BE，

在Rt△PBE中，PE2＋BE2＝BP2，

即PE2＋AF2＝BP2，故④正確．

綜上所述，正確的結論有①③④．

故選：B．