Question

如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接PA、PB，構(gòu)成∠PAC、∠APB、∠PBD三個(gè)角． （提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0°）
（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，有∠APB=∠PAC+∠PBD，請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？若不成立，試寫出∠PAC、∠APB、∠PBD三個(gè)角的等量關(guān)系（無需說明理由）；
（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在第③部分時(shí)，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間的關(guān)系，寫出你發(fā)現(xiàn)的一個(gè)結(jié)論并加以說明．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)P向左作PQ∥AC，根據(jù)平行公理可得PQ∥BD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠APQ=∠PAC，∠BPQ=∠PBD，相加即可得解；
（2）過點(diǎn)P向右作PQ∥AC，根據(jù)平行公理可得PQ∥BD，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠APQ+∠PAC=180°，∠BPQ+∠PBD=180°，兩式相加即可得解；
（3）分點(diǎn)P在直線AB的左側(cè)與右側(cè)兩種情況，分別過點(diǎn)P向右作PQ∥AC，根據(jù)平行公理可得PQ∥BD，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)用∠PAC表示出∠APQ，用∠PBD表示出∠BPQ，然后結(jié)合圖形整理即可得解．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)P向左作PQ∥AC，則∠APQ=∠PAC，
∵AC∥BD，
∴PQ∥BD，
∴∠BPQ=∠PBD，
∵∠APB=∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）不成立．∠APB+∠PAC+∠PBD=360°．
理由如下：如圖，過點(diǎn)P向右作PQ∥AC，則∠APQ+∠PAC=180°，
∵AC∥BD，
∴PQ∥BD，
∴∠BPQ+∠PBD=180°，
∴∠APQ+∠PAC+∠BPQ+∠PBD=180°×2=360°，
∵∠APB=∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB+∠PAC+∠PBD=360°；

（3）①若點(diǎn)P在直線AB左側(cè)，過點(diǎn)P向右作PQ∥AC，則∠APQ=180°-∠PAC，
∵AC∥BD，
∴PQ∥BD，
∴∠BPQ=180°-∠PBD，
∵∠APB=∠BPQ-∠APQ=（180°-∠PBD）-（180°-∠PAC）=∠PAC-∠PBD，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD；
②若點(diǎn)P在直線AB右側(cè)，過點(diǎn)P向右作PQ∥AC，則∠APQ=180°-∠PAC，
∵AC∥BD，
∴PQ∥BD，
∴∠BPQ=180°-∠PBD，
∵∠APB=∠APQ-∠BPQ=（180°-∠PAC）-（180°-∠PBD）=∠PBD-∠PAC，
∴∠PBD=∠APB+∠PAC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)，讀懂題目信息，過點(diǎn)P作出平行線，構(gòu)造出內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角是解題的關(guān)鍵，（3）注意要分點(diǎn)P在直線AB的左、右兩側(cè)兩種情況討論求解．