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        1. 如圖(1)至圖(3),C為定線段AB外一動點,以AC、BC為邊分別向外側(cè)作正方形CADF和正方形CBEG,分別作DD1⊥AB、EE1⊥AB,垂足分別為D1、E1.當C的位置在直線AB的同側(cè)變化過程中,
          (1)如圖(1),當∠ACB=90°,AC=4,BC=3時,求DD1+EE1的值;
          (2)求證:不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化,DD1+EE1的值為定值;
          (3)求證:不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化,線段DE的中點M為定點.

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          (1)∵DD1⊥AB、EE1⊥AB,
          ∴∠DD1A=∠EE1B=∠ACB=90°,
          ∵四邊形ACFD與BEGC是正方形,
          ∴∠DAC=∠CBE=90°,
          ∴∠DAD1+∠CAB=∠CAB+∠CBA=∠CBA+∠EBE1=90°,
          ∴∠DAD1=∠ABC,∠EBE1=∠BAC,
          ∴△DD1A△ACB,△EE1B△BCA,
          DD1
          4
          =
          4
          5
          ,
          EE1
          3
          =
          3
          5
          ,
          DD1=
          16
          5
          ,EE1=
          9
          5

          ∴DD1+EE1=5;

          (2)過點C作CK⊥AB于K,
          ∵DD1⊥AB、EE1⊥AB,
          ∴∠DD1A=∠EE1B=∠AKC=∠BKC=90°,
          ∴∠DAD1+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠
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          EBE1=90°,
          ∴∠DAD1=∠ACK,∠EBE1=∠BCK,
          ∵AD=AC,BC=BE,
          ∴△ADD1≌△CAK,△EBE1≌△BCK,
          ∴DD1=AK,EE1=BK,
          ∴DD1+EE1=AB,
          ∴不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化,DD1+EE1的值為定值;

          (3)設M為DE的中點,Q為D1E1的中點,
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          則:MQ=
          1
          2
          (DD1+EE1)=
          1
          2
          AB
          且MQ⊥AB,
          當四邊形DD1E1E為矩形時,以上結(jié)論仍然成立.
          ∴△ADD1≌△CAK,△EBE1≌△BCK,
          又∵D1A=CK=E1B,
          ∴D1E1的中點就是AB的中點.
          ∴不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化,線段DE的中點M為定點,
          ∴此定點M恒在“點C的同側(cè),與AB的中點Q距離為
          1
          2
          AB
          長的點上”.
          練習冊系列答案
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          (1)如圖(1),當∠ACB=90°,AC=4,BC=3時,求DD1+EE1的值;
          (2)求證:不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化,DD1+EE1的值為定值;
          (3)求證:不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化,線段DE的中點M為定點.
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          (2011•葫蘆島)如圖(1)至圖(2),在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,點B、C、E在同一條直線上.
          (1)已知:如圖(1),AC=AB,AD=AE.求證:①CD=BE;②CD⊥BE.
          (2)如圖(2),當AB=kAC,AE=kAD(k≠1)時,分別說出(1)中的兩個
          結(jié)論是否成立,若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.

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          如圖1,小明將一張長方形紙片沿對角線剪開,得到兩張三角形紙片(如圖2)量得它們的斜邊長為10cm,較小銳角為30°再將這兩張三角形紙片擺成如圖3的形狀,但點B、C、F、D在同一條直線上,且點C與點F重合(在圖3至圖6中統(tǒng)一用F表示).

          小明在對這兩張三角形紙片進行如下操作時遇到了三個問題,請你幫忙解決.

          1.(1)將圖3中的△ABC沿BD向右平移到圖4的位置,使點B與點F重合,請你求出平移的距離;

          2.(2)將圖3中的△ABC繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)30°到圖5的位置,A1F交DE于G,若DG=kEG,求k的值;

          3.(3)將圖3中的△ABF沿直線AF翻折到圖6的位置,AB1交DE于點H,請證明:AH=DH.

           

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          1.(1)將圖3中的△ABC沿BD向右平移到圖4的位置,使點B與點F重合,請你求出平移的距離;

          2.(2)將圖3中的△ABC繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)30°到圖5的位置,A1F交DE于G,若DG=kEG,求k的值;

          3.(3)將圖3中的△ABF沿直線AF翻折到圖6的位置,AB1交DE于點H,請證明:AH=DH.

           

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          如圖(1)至圖(2),在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,點B、C、E在同一條直線上.
          (1)已知:如圖(1),AC=AB,AD=AE.求證:①CD=BE;②CD⊥BE.
          (2)如圖(2),當AB=kAC,AE=kAD(k≠1)時,分別說出(1)中的兩個______結(jié)論是否成立,若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.

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