Question

如圖（1）至圖（3），C為定線段AB外一動點(diǎn)，以AC、BC為邊分別向外側(cè)作正方形CADF和正方形CBEG，分別作DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，垂足分別為D₁、E₁．當(dāng)C的位置在直線AB的同側(cè)變化過程中，
（1）如圖（1），當(dāng)∠ACB=90°，AC=4，BC=3時(shí)，求DD₁+EE₁的值；
（2）求證：不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化，DD₁+EE₁的值為定值；
（3）求證：不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化，線段DE的中點(diǎn)M為定點(diǎn)．

Answer 1

（1）∵DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠EE₁B=∠ACB=90°，
∵四邊形ACFD與BEGC是正方形，
∴∠DAC=∠CBE=90°，
∴∠DAD₁+∠CAB=∠CAB+∠CBA=∠CBA+∠EBE₁₌90°，
∴∠DAD₁=∠ABC，∠EBE₁=∠BAC，
∴△DD₁A∽△ACB，△EE₁B∽△BCA，
∴

DD1

4

=

4

5

，

EE1

3

=

3

5

，
∴DD1=

16

5

，EE1=

9

5

；
∴DD₁+EE₁=5；

（2）過點(diǎn)C作CK⊥AB于K，
∵DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠EE₁B=∠AKC=∠BKC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠

EBE₁₌90°，
∴∠DAD₁=∠ACK，∠EBE₁=∠BCK，
∵AD=AC，BC=BE，
∴△ADD₁≌△CAK，△EBE₁≌△BCK，
∴DD₁=AK，EE₁=BK，
∴DD₁+EE₁=AB，
∴不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化，DD₁+EE₁的值為定值；

（3）設(shè)M為DE的中點(diǎn)，Q為D₁E₁的中點(diǎn)，


則：MQ=

1

2

(DD1+EE1)=

1

2

AB且MQ⊥AB，
當(dāng)四邊形DD₁E₁E為矩形時(shí)，以上結(jié)論仍然成立．
∴△ADD₁≌△CAK，△EBE₁≌△BCK，
又∵D₁A=CK=E₁B，
∴D₁E₁的中點(diǎn)就是AB的中點(diǎn)．
∴不論C的位置在直線AB的同側(cè)怎樣變化，線段DE的中點(diǎn)M為定點(diǎn)，
∴此定點(diǎn)M恒在“點(diǎn)C的同側(cè)，與AB的中點(diǎn)Q距離為

1

2

AB長的點(diǎn)上”．