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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】已知OABC的頂點A、C分別在直線x=2和x=4上,O為坐標原點,直線x=2分別與x軸和OC邊交于D、E,直線x=4分別與x軸和AB邊的交于點F、G.

          (1)如圖,在點A、C移動的過程中,若點B在x軸上,
          ①直線 AC是否會經過一個定點,若是,請直接寫出定點的坐標;若否,請說明理由.
          OABC是否可以形成矩形?如果可以,請求出矩形OABC的面積;若否,請說明理由.
          ③四邊形AECG是否可以形成菱形?如果可以,請求出菱形AECG的面積;若否,請說明理由.
          (2)在點A、C移動的過程中,若點B不在x軸上,且當OABC為正方形時,直接寫出點C的坐標.

          【答案】
          (1)

          解:①是,經過定點(3,0).理由如下:

          如圖1中,連接AC交OB于K.

          ∵四邊形OABC是平行四邊形,

          ∴OK=KB,BC∥OA,BC=OA,

          ∴∠CBF=∠AOD,

          在△DOA和△FBC中,

          ∴△DOA≌△FBC,

          ∴OD=FB=2,

          ∴OB=6,

          ∵OK=KB,

          ∴OK=3,

          ∴K(3,0),

          ∴直線AC經過定點K(3,0).

          ②可以.利用如下:

          當∠OCB=90°時,四邊形OABC是矩形,

          由(1)可知△DOA≌△FBC,

          ∴OD=BF=2,

          ∵∠OCF+∠FCB=90°,∠FCB+∠CBF=90°,

          ∴∠OCF=∠CBF,

          ∵∠CFO=∠CFB,

          ∴△CFO∽△BFC,

          =

          = ,

          ∴CF=2 ,

          ∴S矩形OABC=2SOBC=2× × =12

          ③可以.理由如下:

          如圖3中,易知當OE=EC=AE時,四邊形AECG是菱形.

          由(1)可知,△DOA≌△FBC,

          ∴AD=CF,

          ∵DE= CF,設DE=x,則AD=CF=2x,OE=AE=3x,

          在Rt△ADE中,∵OE2=OD2+DE2,

          ∴9x2=x2+4,

          ∴x=

          ∴AE= ,

          ∴S菱形AECG=AEDF= ×2=3


          (2)

          解:如圖4中,

          當四邊形OABC是正方形時,易證△DOA≌△FCO,

          ∴OD=CF=2,

          ∴點C坐標(4,2),

          根據對稱性C′(4,﹣2)時,也滿足條件.

          綜上所述,點C坐標為(4,2)或(4,﹣2)


          【解析】(1)①是,經過定點(3,0).如圖1中,連接AC交OB于K,只要證明OD=FB=2,推出OB=6,即可解決問題.②當∠OCB=90°時,四邊形OABC是矩形,由(1)可知△DOA≌△FBC,推出OD=BF=2,由△CFO∽△BFC,可得 = ,由此即可解決問題.③可以.如圖3中,易知當OE=EC=AE時,四邊形AECG是菱形.由(1)可知,△DOA≌△FBC,推出AD=CF,易知DE= CF,設DE=x,則AD=CF=2x,OE=AE=3x,在Rt△ADE中,根據OE2=OD2+DE2 , 列出方程即可解決問題.(2)如圖4中,當四邊形OABC是正方形時,易證△DOA≌△FCO,推出OD=CF=2,推出點C坐標(4,2),根據對稱性C′(4,﹣2)時,也滿足條件.
          【考點精析】認真審題,首先需要了解菱形的性質(菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半),還要掌握矩形的性質(矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等)的相關知識才是答題的關鍵.

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