Question

【題目】已知OABC的頂點A、C分別在直線x=2和x=4上，O為坐標原點，直線x=2分別與x軸和OC邊交于D、E，直線x=4分別與x軸和AB邊的交于點F、G．

（1）如圖，在點A、C移動的過程中，若點B在x軸上，
①直線 AC是否會經過一個定點，若是，請直接寫出定點的坐標；若否，請說明理由．
②OABC是否可以形成矩形？如果可以，請求出矩形OABC的面積；若否，請說明理由．
③四邊形AECG是否可以形成菱形？如果可以，請求出菱形AECG的面積；若否，請說明理由．
（2）在點A、C移動的過程中，若點B不在x軸上，且當OABC為正方形時，直接寫出點C的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①是，經過定點（3，0）．理由如下：

如圖1中，連接AC交OB于K．

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴OK=KB，BC∥OA，BC=OA，

∴∠CBF=∠AOD，

在△DOA和△FBC中，

，

∴△DOA≌△FBC，

∴OD=FB=2，

∴OB=6，

∵OK=KB，

∴OK=3，

∴K（3，0），

∴直線AC經過定點K（3，0）．

②可以．利用如下：

當∠OCB=90°時，四邊形OABC是矩形，

由（1）可知△DOA≌△FBC，

∴OD=BF=2，

∵∠OCF+∠FCB=90°，∠FCB+∠CBF=90°，

∴∠OCF=∠CBF，

∵∠CFO=∠CFB，

∴△CFO∽△BFC，

∴ = ，

∴ = ，

∴CF=2 ，

∴S矩形OABC=2S△OBC=2× × =12 ．

③可以．理由如下：

如圖3中，易知當OE=EC=AE時，四邊形AECG是菱形．

由（1）可知，△DOA≌△FBC，

∴AD=CF，

∵DE= CF，設DE=x，則AD=CF=2x，OE=AE=3x，

在Rt△ADE中，∵OE2=OD2+DE2，

∴9x2=x2+4，

∴x= ，

∴AE= ，

∴S菱形AECG=AEDF= ×2=3

（2）

解：如圖4中，

當四邊形OABC是正方形時，易證△DOA≌△FCO，

∴OD=CF=2，

∴點C坐標（4，2），

根據對稱性C′（4，﹣2）時，也滿足條件．

綜上所述，點C坐標為（4，2）或（4，﹣2）

【解析】（1）①是，經過定點（3，0）．如圖1中，連接AC交OB于K，只要證明OD=FB=2，推出OB=6，即可解決問題．②當∠OCB=90°時，四邊形OABC是矩形，由（1）可知△DOA≌△FBC，推出OD=BF=2，由△CFO∽△BFC，可得 = ，由此即可解決問題．③可以．如圖3中，易知當OE=EC=AE時，四邊形AECG是菱形．由（1）可知，△DOA≌△FBC，推出AD=CF，易知DE= CF，設DE=x，則AD=CF=2x，OE=AE=3x，在Rt△ADE中，根據OE2=OD2+DE2 ， 列出方程即可解決問題．（2）如圖4中，當四邊形OABC是正方形時，易證△DOA≌△FCO，推出OD=CF=2，推出點C坐標（4，2），根據對稱性C′（4，﹣2）時，也滿足條件．
【考點精析】認真審題，首先需要了解菱形的性質(菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半)，還要掌握矩形的性質(矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等)的相關知識才是答題的關鍵．