Question

（2011內蒙古赤峰，25，14分）如圖（圖1、圖2），四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在線段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CP于點F，F(xiàn)N⊥BC，交BC的延長線于點N。
（1）若點E是BC的中點（如圖1），AE與EF相等嗎？為什么？
（2）點E在BC間運動時（如圖2），設BE=x,△ECF的面積為y。
①求y與x的函數(shù)關系式；
②當x取何值時，y有最大值，并求出這個最大值。

Answer 1

解：（1）相等。
理由：∵四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點
∴∠B=∠DCN="90°." AB=BC=2BE，
∴∠BAE+∠BEA=90°.
∵∠AEF=90°
∴∠AEB+∠FEC=90°.，
∴∠BAE=∠FEN.
∵CF是∠DCN的角平分線，∠FNC=90°。
∴∠FCN=∠CFN=45°.
∴FN=CN.
在Rt△ABE和Rt△ENF中

∴EN=2FN，∴EC＋CN=2CN，∴FN="BE" .
∴Rt△ABE≌Rt△ENF.
∴AE=EF.
方法二：如圖，取AB的中點M，連結ME. 
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠DCN=90°，
∵點E是BC的中點
∴AM=MB=BE=EC
在Rt△MBE中，∠BME=∠BEM=45°.
∴∠AME=135°；
∵CF是∠DCN的角平分線，
∴∠FCN=45°.
∴∠ECF=135°.
∴∠AME="∠ECF" ；
∵∠AEF="90° " ；
∴∠AEB+∠FEC="90°" ；
在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°.
∴∠BAE="∠FEN " ；
∴△AME≌△ECF ；
∴AE="EF" 。

∴BE(EC+CN)="CN(BE+EC)" ;
∴BE·EC＋ BE·CN =" BE·CN" ＋CN·EC ;
∴BE·EC =" CN·EC" ;
∴BE =" CN " ;
∴BE ="FN" =" x" ，     
∴。
②
當x =2時，y有最大值為2.

略