Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于O，MN過(guò)點(diǎn)O且與BC平行．△ABC的周長(zhǎng)為20，△AMN的周長(zhǎng)為12，求BC的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】BC=8.

【解析】

根據(jù)“∠ABC、∠ACB的平分線相交于O，MN過(guò)點(diǎn)O且與BC平行”可得到△OMB與△ONC是等腰三角形，在通過(guò)△AMN的周長(zhǎng)可得得到AB+AC的長(zhǎng)度，根據(jù)△ABC的周長(zhǎng)即可得到BC的長(zhǎng).

解：∵M(jìn)N過(guò)點(diǎn)O且與BC平行

∴∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB

又∵OB、OC分別是∠ABC、∠ACB的平分線，并交于點(diǎn)O

∴∠AMN=2∠MBO，∠ANM=2∠NCO

又∵∠AMN=∠MBO+∠MOB，∠ANM=∠NCO+∠NOC

∴∠MBO=∠MOB，∠NCO=∠NOC

即△OMB與△ONC是等腰三角形

∴MB=MO，NC=NO

∵△AMN的周長(zhǎng)為12，

即AM+MO+AN+NO=12

即AM+MB+AN+NC=12

即AB+AC=12

又∵△ABC的周長(zhǎng)為20

∴AB+AC+BC=20

∴BC=20-12=8

即BC=8