Question

【題目】如圖，△ABC中，∠A=40°，

(1)若點(diǎn)P是∠ABC與∠ACB平分線(xiàn)的交點(diǎn)，求∠P的度數(shù)；

(2)若點(diǎn)P是∠CBD與∠BCE平分線(xiàn)的交點(diǎn)，求∠P的度數(shù)；

(3)若點(diǎn)P是∠ABC與∠ACF平分線(xiàn)的交點(diǎn)，求∠P的度數(shù)；

(4)若∠A=β，求(1)(2)(3)中∠P的度數(shù)(用含β的代數(shù)式表示，直接寫(xiě)出結(jié)果)

Answer 1

【答案】(1)∠BPC=110°；(2)∠BPC =70°；(3)∠BPC=20°；(4)(1)中∠P=β+90°；(2)中∠P=90°-β；(3)中∠P=β．

【解析】

（1）由三角形內(nèi)角和定理可知∠ABC+∠ACB的度數(shù)，根據(jù)點(diǎn)P是∠ABC與∠ACB平分線(xiàn)的交點(diǎn)，可知的度數(shù)，再次利用三角形內(nèi)角和定理即可得出∠P度數(shù)；

（2）由三角形的外角和定理可以得到∠DBC與∠BCE關(guān)于∠A的關(guān)系，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出答案；

（3）由三角形的外角和定理和角平分線(xiàn)的定義可以得到∠P=，即可得出答案；

（4）由（1）（2）（3）證明過(guò)程，容易得到答案.

(1)∵∠A=40°，

∴∠ABC+∠ACB=140°，

∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=×140°=70°，

∴∠BPC=180°-70°=110°；

(2)∵∠DBC=∠A+∠ACB，

∵P為△ABC兩外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，

∴∠DBC=∠A+∠ACB，

同理可得：∠BCE=∠A+∠ABC，

∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，

∴(∠ACB+∠ABC)=90°-∠A，

∵180°-∠BPC=∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，

∴180°-∠BPC=∠A+∠ACB+∠ABC，180°-∠BPC=∠A+90°-∠A，

∴∠BPC=90°-∠A=70°；

(3)∵點(diǎn)P是∠ABC與∠ACF平分線(xiàn)的交點(diǎn)

∴

∵∠PCF=∠P+∠PBC，∠ACF=∠A+∠ABC

∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC

∴

(4)若在(1)中；在(2)中，同理得；在(3)中同理可得∠P=β．