Question

【題目】已知：關于x的方程：mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．

（1）求證：無論m取何值時，方程恒有實數根；

（2）若關于x的二次函數y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的圖象與x軸兩交點間的距離為2時，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）分與兩種情況討論，再結合一元二次方程的根的判別式即可判斷；

（2）

【解析】

試題(1)、分兩種情況討論：①當m=0時，方程為一元一次方程，若能求出解，則方程有實數根；

②當m≠0時，方程為一元二次方程，計算出△的值為非負數，可知方程有實數根．(2)、根據二次函數與x軸的交點間的距離公式，求出m的值，從而得到拋物線的解析式．

試題解析：(1)、①當m=0時，原方程可化為x﹣2=0，解得x=2；②當m≠0時，方程為一元二次方程，

△=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2） =m2+2m+1 =（m+1）2≥0，故方程有兩個實數根；

故無論m為何值，方程恒有實數根．

(2)、∵二次函數y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的圖象與x軸兩交點間的距離為2，

∴=2， 整理得，3m2﹣2m﹣1=0， 解得m1=1，m2=﹣．

則函數解析式為y=x2﹣2x或y=﹣x2+2x﹣．