Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝8，AC＝4，D是AB邊上一點(diǎn)，P是優(yōu)弧的中點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，當(dāng)BD的長(zhǎng)度為多少時(shí)，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形？并加以證明。

Answer 1

當(dāng)BD=4時(shí)，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形，證明見(jiàn)解析

解：當(dāng)BD=4時(shí)，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形。理由如下：
∵P是優(yōu)弧 的中點(diǎn)，∴。∴PB=PC。
若△PAD是以AD為底邊的等腰三角形，則PA=PD。
又∵∠PAD=∠PCB，∴△PAD∽△PCB�！唷螪PA=∠BPC�！唷螧PD=∠CPA。
在△PBD與△PCA中，∵PB=PC，∠BPD=∠CPA，PD="PA" ，∴△PBD≌△PCA（SAS）。
∴BD=AC=4。
由于以上結(jié)論，反之也成立，
∴當(dāng)BD=4時(shí)，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形。
根據(jù)等弧對(duì)等弦以及全等和相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行求解。