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        1. 已知如圖,矩形ABCD的周長(zhǎng)為28,AB=6,對(duì)角線(xiàn)AC的垂直平分線(xiàn)分別交AD、BC于E、F,連接AF、精英家教網(wǎng)CE、EF,且EF與AC相交于點(diǎn)O.
          (1)求AC的長(zhǎng);
          (2)求證:四邊形AECF是菱形;
          (3)求S△ABF與S△AEF的比值.
          分析:(1)矩形ABCD的周長(zhǎng)為28,AB=6,則可求得BC的值,再根據(jù)勾股定理求得AC的值;
          (2)要證四邊形AFCE是菱形,只需通過(guò)定義證明四邊相等即可.此題實(shí)際是對(duì)判定菱形的方法“對(duì)角形垂直平分的四邊形為菱形”的證明;
          (3)因?yàn)锳E=FC,AO=CO,OE=OF,則可根據(jù)SSS證明△AOE≌△COF,所以有S△AEF=S△ACF,再分別求得S△ABF與S△AEF的面積即可得到其比值.
          解答:解:(1)∵ABCD是矩形
          ∴AB=DC,AD=BC
          ∵ABCD的周長(zhǎng)為28,AB=6
          ∴AB+DC+AD+BC=28
          ∴BC=8
          ∴AC=
          AB2+BC2
          =
          36+64
          =10;

          (2)∵四邊形ABCD是矩形
          ∴AD∥BC
          ∴∠OAE=∠OCF
          ∵EF垂直平分AC
          ∴AO=CO,∠AOE=∠COF=90°
          ∴△AOE≌△COF
          ∴OE=OF
          ∴四邊形AFEC是平行四邊形
          又∵EF⊥AC
          ∴四邊形AFEC是菱形;

          (3)∵AE=FC,AO=CO,OE=OF
          ∴△AOE≌△COF
          ∴S△AEF=S△ACF
          ∵S△ABF=3BF,S△AEF=3FC
          ∴S△ABF:S△AEF=BF:FC.
          設(shè)FC=x,則AF=x,BF=8-x
          在Rt△ABF中,由勾股定理
          62+(8-x)2=x2
          解得x=
          25
          4

          ∴BF=8-x=
          7
          4

          ∴S△ABF:S△AEF=BF:FC=7:25
          點(diǎn)評(píng):此題主要考查了矩形的性質(zhì)、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)性質(zhì)、菱形的判定以及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用,有利于學(xué)生思維能力的訓(xùn)練.
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          (1)則四邊形DBCE是
          形(填寫(xiě):平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形)
          (2)若AB=AC=1,BC=
          3
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          (2)若AB=AC=1,BC=,請(qǐng)你求出四邊形DBCE的面積.

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