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        1. 【題目】如圖1,點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn). 分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G,OC到點(diǎn)E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OGOE為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,DE

          (1)求證:DEAG;

          (2)正方形ABCD固定,將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0°< <360°)得到正方形,如圖2.

          ①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)∠是直角時(shí),求的度數(shù);(注明:當(dāng)直角邊為斜邊一半時(shí),這條直角邊所對(duì)的銳角為30度)

          ②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,求長(zhǎng)的最大值和此時(shí)的度數(shù),直接寫(xiě)出結(jié)果不必說(shuō)明理由.

          圖1 圖2

          【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)①(1)30°或150°②AF′長(zhǎng)的最大值是,此時(shí)α=315°.

          【解析】1)如圖1,延長(zhǎng)EDAG于點(diǎn)H.

          O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn).∴OA=OD,OAOD.

          OG=OE,∴RtAOGRtDOE,∴∠AGO=∠DEO.

          ∵∠AGO+∠GAO=90°,∴∠DEO+∠GAO=90°,∴∠AHE=90°,即DEAG.

          2)①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,∠成為直角有以下兩種情況:

          (i)α0°增大到90°過(guò)程中,當(dāng)∠為直角時(shí),

          ,∴在Rt中, ,

          ∴∠OAOD,∴∠DOG′=90°-∠=30°,即α=30°.

          (ii)α90°增大到180°過(guò)程中,當(dāng)∠為直角時(shí),

          同理可求的∠AOG′=30°,所以α=90°+∠=150°.

          綜上,當(dāng)∠為直角時(shí),α=30°或150°.

          AF′長(zhǎng)的最大值是,此時(shí)α=315°.理由:當(dāng)AF′長(zhǎng)的最大時(shí),點(diǎn)F′在直線AC上,如圖所示:

          AB=BC=CD=AD=1,∴AC=BD=AO=OD=

          OE′=EF′=2OD=.∴OF′=.∴AF′=AO+OF′=

          ∵∠EOF′=45°∴旋轉(zhuǎn)角α=360°-45°=315°.

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