Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的半徑為5，圓心的坐標(biāo)為，交軸于點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)、、重合），連結(jié)并延長(zhǎng)，連結(jié)，，.
（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí).

①求證：；

②如圖2，在上取一點(diǎn)，使，連結(jié).求證：；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，試探究的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出該定值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（0，4）；（2）①詳見(jiàn)解析；②詳見(jiàn)解析；（3）不變，為.

【解析】

（1）連結(jié)，在中，為圓的半徑5，，由勾股定理得

（2）①根據(jù)圓的基本性質(zhì)及圓周角定理即可證明；

②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角定理得到，由①證明得到，即可根據(jù)相似三角形的判定進(jìn)行求解；

（3）分別求出點(diǎn)C在B點(diǎn)時(shí)和點(diǎn)C為直徑AC時(shí)，的值，即可比較求解.

（1）連結(jié)，在中，=5，，

∴

∴A（0,4）.

（2）連結(jié)，

故，則

∵∠ABD+∠ACD=180°，∠HCD+∠ACD=180°，

∴

∵與是弧所對(duì)的圓周角

∴=

又

∴

即

②∵

∴

∵，且由（2）得

∴

∴

在與中

∴

（3）①點(diǎn)C在B點(diǎn)時(shí)，如圖，

AC=2AO=8,BC=0,

CD=BD=

∴==；

當(dāng)點(diǎn)C為直徑AC與圓的交點(diǎn)時(shí)，如圖

∴AC=2r=10

∵O,M分別是AB、AC中點(diǎn)，

∴BC=2OM=6，

∴C（6，-4）∵D（8,0）

∴CD=

∴==

故的值不變，為.