Question

【題目】如圖，直線OA與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（3，3），向下平移直線OA，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B（6，m）與y軸交于點(diǎn)C，

（1）求直線BC的解析式；

（2）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；

（3）設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E．

問：在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使以O、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，），（4，），（4，12），（4，﹣12）．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可確定直線OA以及反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)所得反比例函數(shù)解析式即可確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，而OA、BC平行，那么它們的斜率相同，由此可確定直線BC的解析式；

（2）根據(jù)直線BC的解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，然后可利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式；

（3）根據(jù)（2）所得拋物線的解析式，可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可得到BD、BC、CD的長(zhǎng)，利用勾股定理逆定理即可判定△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°，根據(jù)拋物線對(duì)稱軸方程可得到E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求得OE的長(zhǎng)，若以O、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，已知∠BDC＝∠PEO＝90°，那么有兩種情況需要考慮：①△PEO∽△BDC，②△OEP∽△BDC．根據(jù)上面兩組不同的相似三角形所得不同的比例線段，即可得到PE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．（需要注意的是P點(diǎn)可能在E點(diǎn)上方也可能在E點(diǎn)下方）

解：（1）由直線OA與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（3，3），

得直線OA為：y＝x，雙曲線為：，

點(diǎn)B（6，m）代入得，點(diǎn)B（6，），

設(shè)直線BC的解析式為y＝x+b，由直線BC經(jīng)過點(diǎn)B，

將x＝6，，代入y＝x+b得：，

所以，直線BC的解析式為；

（2）由直線得點(diǎn)C（0，），

設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為

將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得：

，

解得

所以，拋物線的解析式為；

（3）存在．

把配方得，

所以得點(diǎn)D（4，），對(duì)稱軸為直線x＝4

得對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為E（4，0）．

由BD＝，BC＝，CD＝，得CD2＝BC2+BD2，所以，∠DBC＝90°

又∠PEO＝90°，若以O、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，則有：

①，即，得，有P1（4，），P2（4，）

②，即，得PE＝12，有P3（4，12），P4（4，﹣12）

所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，），（4，），（4，12），（4，﹣12）．