Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為正方形中，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），連接.

（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).

①求證：;

②設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍.

（2）在如圖2中，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺作出一個(gè)以為邊的菱形.

Answer 1

【答案】(1)①見(jiàn)解析；②；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）①連接DE，如圖1，先用SAS證明△CBE≌△CDE，得EB=ED，∠CBE=∠1，再用四邊形的內(nèi)角和可證明∠EBC=∠2，從而可得∠1=∠2，進(jìn)一步即可證得結(jié)論；

②將△BAE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)E落在點(diǎn)P處，如圖2，用SAS可證△PBG≌△EBG，所以PG=EG=2－x－y，在直角三角形PCG中，根據(jù)勾股定理整理即得y與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)題意寫(xiě)出x的取值范圍即可.

（2）由（1）題已得EB=ED，根據(jù)正方形的對(duì)稱性只需再確定點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)即可，考慮到只有直尺，可延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)M，再連接MO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)N，再連接DN交AC于點(diǎn)Q，問(wèn)題即得解決.

（1）①證明：如圖1，連接DE，∵四邊形ABCD是正方形，

∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，

又∵CE=CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），

∴EB=ED，∠CBE=∠1，

∵∠BEC=90°，∠BCF=90°，

∴∠EBC+∠EFC=180°，

∵∠EFC+∠2=180°，

∴∠EBC=∠2，

∴∠1=∠2.

∴ED=EF，

∴BE=EF.

②解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，∴對(duì)角線AC=2.

將△BAE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E落在點(diǎn)P處，如圖2，

則△BAE≌△BCP，

∴BE=BP，AE=CP=x，∠BAE=∠BCP=45°，∠EBP=90°，

由①可得，∠EBF=45°，∴∠PBG=45°=∠EBG，

在△PBG與△EBG中，，

∴△PBG≌△EBG（SAS）.

∴PG=EG=2－x－y，

∵∠PCG=∠GCB+∠BCP=45°+45°=90°，

∴在Rt△PCG中，由，得，

化簡(jiǎn)，得.

（2）如圖3，作法如下：

①延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)M，

②連接MO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)N，

③連接DN交AC于點(diǎn)Q，

④連接DE、BQ，

則四邊形BEDQ為菱形.