Question

【題目】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，且CD=CB，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF交CD于點(diǎn)M，連接AM．
（1）求證：EF= AC．
（2）若∠BAC=45°，求線段AM、DM、BC之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CD=CB，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，

∴CE⊥BD，

∵點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，

∴EF= AC

（2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD，

∴△AEC是等腰直角三角形，

∵點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，

∴EF垂直平分AC，

∴AM=CM，

∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，

∴BC=AM+DM

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE⊥BD，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF= AC；（2）判斷出△AEC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EF垂直平分AC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代換即可得解．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等腰直角三角形和直角三角形斜邊上的中線，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半才能得出正確答案．