Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，4），B（5，0），動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿BO向終點(diǎn)O運(yùn)動，動點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動．兩點(diǎn)同時出發(fā)，速度均為每秒1個單位，設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動了xs．
（1）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為______（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)x為何值時，△APQ是一個以AP為腰的等腰三角形？
（3）記PQ的中點(diǎn)為G．請你探求點(diǎn)G隨點(diǎn)P，Q運(yùn)動所形成的圖形，并說明理由．

Answer 1

（1）（2+

3

5

x，4-

4

5

x）．

（2）由題意，得P（5-x，0），0＜x≤5
由勾股定理
求得PQ²=（

8

5

x-3）²+（4-

4

5

x）²
AP²=（3-x）²+4²
若AQ=AP，則x²=（3-x）²+4²，解得x=

25

6

若PQ=AP
則（

8

5

x-3）²+（4-

4

5

x）²=（3-x）²+4²
即

11

5

x²-10x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=

50

11

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x=

25

6

或x=

50

11

時，△APQ是一個以AP為腰的等腰三角形．

（3）設(shè)AB、BO的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M、N，則點(diǎn)G隨點(diǎn)P、Q運(yùn)動所形成的圖形是線段MN
設(shè)MN，PQ相交于點(diǎn)G′，過點(diǎn)P作PK∥AO交AB于點(diǎn)K

∴PK∥AO∥MN
∴△A0B∽△KPB∽△MNB．
∵AB=OB
∴BK=BP=AQ，BM=BN
∴BK-BM=AQ-BM，
BK-BM=AQ-AM
即KM=QM
∴PG′=QG′
∴G′是PQ的中點(diǎn)
即點(diǎn)G′與點(diǎn)G重合．
∴點(diǎn)G隨點(diǎn)P、Q運(yùn)動所形成的圖形是△OBA的中位線MN．