Question

直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在腰AB上有一動(dòng)點(diǎn)P．
（1）連接DP、CP，使得△PAD與△PBC相似，求出此時(shí)AP的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)則滿(mǎn)足上述條件的P共有______個(gè)；
（3）在直線(xiàn)AB上存在一點(diǎn)M，使得△DMC周長(zhǎng)最小，直接寫(xiě)出AM的長(zhǎng)，并求出△DMC的周長(zhǎng)．

Answer 1

（1）分兩種情況：
①如果△PAD∽△PBC，
則PA：PB=AD：BC=2：3，
又PA+PB=AB=7，
∴AP=7×2÷5=2.8；
②如果△PAD∽△CBP，
則PA：BC=AD：BP，
即PA•PB=2×3=6，
又∵PA+PB=AB=7，
∴PA、PB是一元二次方程x²-7x+6=0的兩根，
解得x₁=1，x₂=6，
∴AP=1或6．
綜上，可知AP=2.8或1或6．

（2）若點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)則滿(mǎn)足上述條件的P共有6個(gè)；

（3）延長(zhǎng)CB到C′，使C′B=CB，連接DC′，交AB于點(diǎn)M．
此時(shí)△DMC周長(zhǎng)最小，AM=2.8．
在△ADM中，∠A=90°，AD=2，AM=2.8，∴DM=

2

5

74

，
在△BCM中，∠B=90°，BC=3，BM=4.2，∴CM=

3

5

74

CD=

72+12

=5

2

故△DMC的周長(zhǎng)=DM+CM+CD=

74

+5

2

．