Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，連接BD，點H為BD的中點．請解答下列問題：

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；

（2）在y軸上找一點P，使PD+PH的值最小，則PD+PH的最小值為　 　．

（注：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x=﹣，頂點坐標(biāo)為（﹣，）

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，D（1，4）（2）

【解析】

(1)直接將A、B兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式，用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

(2)求得點H關(guān)于y軸的對稱點H′，連接H′D與y軸交于點P，此時PD+PH最小.

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c過點A（﹣1，0），B（3，0）

∴

解得

∴所求函數(shù)的解析式為：y=﹣x2+2x+3

y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4

∴頂點D（1，4）

（2）∵B（3，0），D（1，4）

∴中點H的坐標(biāo)為（2，2）其關(guān)于y軸的對稱點H′坐標(biāo)為（﹣2，2）

連接H′D與y軸交于點P，則PD+PH最小

且最小值為： =

∴答案：